a: Xét ΔKAC và ΔKPB có

KA=KP

\(\widehat{AKC}=\widehat{PKB}\)

KC=KB

Do đó:ΔKAC=ΔKPB

=>\(\widehat{KAC}=\widehat{KPB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AC//PB

b: \(\widehat{NAC}=\widehat{NAB}+\widehat{BAC}=90^0+\widehat{BAC}\)

\(\widehat{BAM}=\widehat{BAC}+\widehat{MAC}=90^0+\widehat{BAC}\)

Do đó: \(\widehat{BAM}=\widehat{NAC}\)

Xét ΔBAM và ΔNAC có

BA=NA

\(\widehat{BAM}=\widehat{NAC}\)

AM=AC

Do đó: ΔBAM=ΔNAC

=>BM=CN

c:

ΔKBP=ΔKCA

=>BP=AC

mà AC=AM

nên BP=AM

AC//BP

=>\(\widehat{ABP}+\widehat{BAC}=180^0\)(1)

\(\widehat{BAC}+\widehat{NAM}+\widehat{NAB}+\widehat{MAC}=360^0\)

=>\(\widehat{BAC}+\widehat{NAM}+90^0+90^0=360^0\)

=>\(\widehat{NAM}+\widehat{BAC}=180^0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABP}=\widehat{NAM}\)

Xét ΔABP và ΔNAM có

AB=NA

\(\widehat{ABP}=\widehat{NAM}\)

BP=AM

Do đó: ΔABP=ΔNAM

a) Ta có: \(\widehat{MAB}=\widehat{BAC}+\widehat{CAM}=\widehat{BAC}+90^o\left(AM\perp AC\right).\)

               \(\widehat{CAN}=\widehat{BAC}+\widehat{BAN}=\widehat{BAC}+90^o\left(AN\perp AB\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{CAN}.\)

Xét tam giác ABM và tam giác ANC:

\(\widehat{MAB}=\widehat{CAN}\left(cmt\right).\)

AB = AB (gt).

AM = AC (gt).

\(\Rightarrow\) Tam giác ABM = Tam giác ANC (c - g - c).

b) Tam giác ABM = Tam giác ANC (cmt).

\(\Rightarrow\) BM = NC (2 cạnh tương ứng).

a) Xet tam giac BKP va tam giac AKC ta co

AK=KP ( K la trung diem AP)

BK=KC( K la trung diem BC)

goc AKB= goc PKC ( 2 goc doi dinh)

--> tam giac BKP= tam giac AKC ( c-g-c)

--> goc KBP=goc KCA ( 2 goc tuong ung)

ma 2 goc nam o vi tri so le trong nen AC//BP

b) ta co:

goc NAM + goc BAC + goc MAC+ goc NAB=360

goc NAM + goc BAC +90 +90 =360

goc NAM + goc BAC =180

ma goc ABP + goc BAC =180 ( 2 goc trong cung phia va AC//BP)

nen goc NAM = goc ABP

ta co : AC= BP ( tam giac AKC = tam giac BKP)

          AC = AM (gt)

--> BP =AM

Xet tam giac NAM va tam giac ABP ta co

goc NAM = goc ABP (cmt)

AN= AB( gt)

AM= BP (cmt)

--> tam giac NAM = tam giac ABP (c-g-c)

c) Keo dai KA cat NM tai H

ta co

goc HMA= goc APB ( tam giac NAM = tam giac ABP)

goc APB= goc PAC ( 2 goc so le trong va AC//BP)

---> goc HMA = goc APB

ta co:

goc HAM+ goc MAC+ goc CAP=180

goc HAM + 90 + goc CAP=180

goc HAM+ goc CAP =90

ma goc CAP = goc AMH ( cmt)

nen goc HAM+ goc AMH =90

Xet tam giac HAM  ta co

goc HAM+ goc AMH + goc AHM =180 ( tong 3 goc trong tam giac )

90+ goc AHM=180

goc AHM =90

--> AK vuong goc MN tai H

Vẽ đoạn thẳng MN cắt xy tại C

Lấy điểm O thuộc tia Cy thì tia Ox nằm giữa hai tia OM, ON

a. Giả sử ba đường thẳng aa’, bb’ và cc’ cắt nhau từng đôi một tại ba điểm A, B, C (hình vẽ). Điểm O cần vẽ là giao điểm của hai tia AO và BO sao cho tia AO nằm giữa hai tia AB và AC, tia BO nằm giữa hai tia BA và BC.

b. Điểm A’ nằm trên tia AA’ sao cho tia AA’ nằm giữa hai tia Ab’ và Ac, A’ và O cùng nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC.