ai làm cái đang cần gấp huhu

\(A=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)=1+\frac{1}{x^2y^2}-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)=1+\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2y^2}-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)

\(=1+\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2y^2}-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)=1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)=1+\frac{2}{xy}\)

\(=1+\frac{2\left(x+y\right)}{xy}=1+\frac{2x+2y}{xy}=1+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}=1+\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{x}+\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{y}\)

\(>=1+\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)^2}{x+y}=1+\frac{\left(2\sqrt{2}\right)^2}{1}=1+8=9\)(bđt cauchy schawarz dạng engel)

dấu = xảy ra khi \(\frac{2}{x}=\frac{2}{y}\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

vậy min A là 9 khi x=y=\(\frac{1}{2}\)

a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)

Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2

b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)

Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)

Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)

mk ko bit

mik tính ko ra

Ta có

\(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2\ge0\\\left(y+1\right)^2\ge0\\\left(z+1\right)^2\ge0\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}x^2+1>0\\y^2+1>0\\z^2+1>0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow A=\frac{\left(x+1\right)^2\left(y+1\right)^2}{z^2+1}+\frac{\left(y+1\right)^2\left(z+1\right)^2}{x^2+1}+\frac{\left(z+1\right)^2\left(x+1\right)^2}{y^2+1}\ge0\)

Kết hợp với điều kiện ban đầu thì

GTNN của A là 0 đạt được khi 

\(\left(x,y,z\right)=\left(-1,-1,5;-1,5,-1;5,-1-1\right)\)

post từng câu một thôi bn nhìn mệt quá

Ta có: \(A=\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)\)

\(=1+\frac{1}{y}+x+\frac{x}{y}+1+\frac{1}{x}+y+\frac{y}{x}\)

\(=\left(x+\frac{1}{2x}\right)+\left(y+\frac{1}{2y}\right)+\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+2\)

Lại có: \(x,y\in Z^+\) nên ta có:

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Dấu " = " xảy ra  \(\Leftrightarrow y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Từ trên ta suy ra: \(A\ge3\sqrt{2}+4\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Vậy \(A_{Min}=3\sqrt{2}+4\)

\(A=\left(x+y\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+2\ge x+y+\frac{4}{x+y}+4\)

\(\Rightarrow A\ge\left(x+y+\frac{2}{x+y}\right)+\frac{2}{x+y}+4\ge2\sqrt{2}+4+\frac{2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}=3\sqrt{2}+4\)

a) \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(+\frac{1}{y^2}\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)

\(=2+\left(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwar cho 2 số không âm, ta được:

\(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2y^2}{256x^2y^2}}=\frac{1}{8}\)

C/m được BĐT phụ: \(1=\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow16x^2y^2\le1\Leftrightarrow256x^2y^2\le16\Leftrightarrow\frac{255}{256x^2y^2}\ge\frac{255}{16}\)

\(\Rightarrow M\ge2+\frac{1}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2y^2=\frac{1}{256x^2y^2}\\x-y=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\))

\(\frac{16}{3x+3y+2z}=\frac{16}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)+\left(x+y\right)1}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\)

Tương tự \(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+z}\)

\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{y+z}\)

Cộng vế theo vế ta có:

\(16\left(\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\right)\le4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=24\)

\(\Rightarrow\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

P/S:Có dùng S-vác ngược dấu ạ.ý tưởng tách mẫu là từ tth_new - Trang của tth_new - Học toán với OnlineMath nha !

b) \(\frac{1}{3x+3y+2z}=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(x+z\right)+\left(x+y\right)}\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)

Tương tự hai bđt còn lại và cộng theo vế thu được: \(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{4}\)