Ta có : 36³⁶ - 9¹⁰ = (4.9)³⁶ - 9¹⁰ = 4³⁶ . 9³⁶ - 9¹⁰ = 9¹⁰(4³⁶ . 9²⁶ -1) \(⋮\)9   (1)

            36³⁶ có chữ số tận cùng là 6 và 9¹⁰ có chữ số tận cùng là 1 (vì số mũ là số lẻ)

            => 36³⁶ - 9¹⁰ có chữ số tận cùng là 5   

            => 36³⁶ - 9¹⁰ \(⋮\)5    (2)

Từ (1) và (2) suy ra : 36³⁶ - 9¹⁰ \(⋮\)5;9      (3)

Mà 5 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau   (4)

Từ (3) và (4) suy ra : 36³⁶ - 9¹⁰ \(⋮\)45 

Vậy 36³⁶ - 9¹⁰ \(⋮\)45 (điều cần phải chứng minh)

BẠN LƯỢT XUỐNG SẼ CÓ NHÉ

+ 36 chia hết cho 9

=> A=36³⁶ - 9¹⁰ chia hết cho 9

+A =.....6 -  81⁵ = ...6 - ...1 = ...5 chia hết cho 5

Vậy A chia hết cho 9 ;5  mà (9;5) =1

=> A chia hết cho 9.5 = 45

Ta có:

\(36^{36}-9^{10}⋮9\) vì các số hạng đều chia hết cho \(9\).

Mặt khác:

\(36^{36}\) có số tận cùng là số \(6\).

\(9^{10}=\left(9^2\right)^5=81^5\) có tận cùng là \(1\)

\(\Rightarrow36^{36}-9^{10}\) có tận cùng là \(6-1=5\)

\(\Rightarrow36^{36}-9^{10}⋮5\)

Mà \(5;9\) là hai snt cùng nhau

\(\Rightarrow36^{36}-9^{10}\) chia hết cho \(45\)

Ta có 7¹⁰⁰⁰=(7⁴)²⁵⁰=(...1)²⁵⁰=(...1)

         3¹⁰⁰⁰=(3⁴)²⁵⁰=(...1)²⁵⁰=(...1)

         =>7¹⁰⁰⁰-3¹⁰⁰⁰=(...1)-(...1)=(...0)=>chia hết cho 10=> điều phải cm

Chúc bn học tốt!!

#Zon_của_Dôn      

Áp dụng hằng đẳng thức sau
an−1=(a−1).[an−1+an−2+...+1]=(a−1).pan−1=(a−1).[an−1+an−2+...+1]=(a−1).p (nn là 1 số nguyên dương)
an+1=(a+1).[an−1−an−2+..+1]=(a+1).qan+1=(a+1).[an−1−an−2+..+1]=(a+1).q (nn là 1 số nguyên dương lẻ)

Thay vào ta được như sau:

+) 222333−1=(222−1).p=13.17.p222333−1=(222−1).p=13.17.p

+) 333222+1=(3332)111+1=110889111+1=(110889+1).q=13.8530.q333222+1=(3332)111+1=110889111+1=(110889+1).q=13.8530.q

=>=> 222333+333222=222333−1+333222+1=13(17p+8530q)⋮13222333+333222=222333−1+333222+1=13(17p+8530q)⋮13

Vậy: 222333+333222⋮13222333+333222⋮13 (đpcm)(đpcm) 

\(\left(222^{333}+333^{222}\right)⋮13\)

an−1=(a−1).[an−1+an−2+...+1]=(a−1).p" role="presentation" style="border:0px; color:rgb(40, 40, 40); direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-family:helvetica,arial,sans-serif; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">an−1=(a−1).[an−1+an−2+...+1]=(a−1).pn" role="presentation" style="border:0px; color:rgb(40, 40, 40); direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-family:helvetica,arial,sans-serif; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">nan+1=(a+1).[an−1−an−2+..+1]=(a+1).q" role="presentation" style="border:0px; color:rgb(40, 40, 40); direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-family:helvetica,arial,sans-serif; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">an+1=(a+1).[an−1−an−2+..+1]=(a+1).qn" role="presentation" style="border:0px; color:rgb(40, 40, 40); direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-family:helvetica,arial,sans-serif; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">n222333−1=(222−1).p=13.17.p" role="presentation" style="border:0px; color:rgb(40, 40, 40); direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-family:helvetica,arial,sans-serif; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">222333−1=(222−1).p=13.17.p
333222+1=(3332)111+1=110889111+1=(110889+1).q=13.8530.q" role="presentation" style="border:0px; color:rgb(40, 40, 40); direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-family:helvetica,arial,sans-serif; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">333222+1=(3332)111+1=110889111+1=(110889+1).q=13.8530.q
=>" role="presentation" style="border:0px; color:rgb(40, 40, 40); direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-family:helvetica,arial,sans-serif; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">=>222333+333222=222333−1+333222+1=13(17p+8530q)⋮13" role="presentation" style="border:0px; color:rgb(40, 40, 40); direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-family:helvetica,arial,sans-serif; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">\(222\)333+333222=222333−1+333222+1=13(17p+8530q)⋮13

a) \(222^{333}+333^{222}\)

\(=\left(111.2\right)^{333}+\left(111.3\right)^{222}\)

\(=111^{333}.2^{333}+111^{222}.3^{222}\)

\(=111^{222}.\left(111^{111}.2^{333}+3^{222}\right)\)

\(=111^{222}.\left(111^{111}.2^{3.111}+3^{2.111}\right)\)

\(=111^{222}.\left[111^{111}.\left(2^3\right)^{111}+\left(3^2\right)^{111}\right]\)

\(=111^{222}.\left(111^{111}.8^{111}+9^{111}\right)\)

\(=111^{222}.\left[\left(111.8\right)^{111}+9^{111}\right]\)

\(=111^{222}.\left(888^{111}+9^{111}\right)\)

\(=111^{222}.\left(888+9\right)\left[888^{110}-888^{109}.9+.....-888.9^{109}+9^{110}\right]\)

\(=111^{222}.7992\left[888^{110}-888^{109}.9+.....-888.9^{109}+9^{110}\right]\)

\(=111^{222}.897\left[888^{110}-888^{109}.9+.....-888.9^{109}+9^{110}\right]\)

\(=111^{222}.13.69\left[888^{110}-888^{109}.9+.....-888.9^{109}+9^{110}\right]⋮13\)

Vậy \(222^{333}+333^{222}⋮13\left(dpcm\right)\)

Ta có:

\(8^9+7^9+6^9+5^9+...+2^9+1^9\)

\(=\left(8^3+7^3+6^3+5^3+...+2^3+1^3\right)^2\)

\(=\left(\left(8+7+6+5+...+2+1\right)^2\right)^2\)

\(=\left(8+7+6+5+...+2+1\right)^4\)

\(=36^4\)

\(=9^4.4^4\)

\(9^{10}=9^4.9^6\)

Vì \(9^4.9^6>9^4.4^4\)

\(\Rightarrow9^{10}>8^9+7^9+6^9+5^9+...+2^9+1^9\)