xí câu 1:))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)

Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )

Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2

•๖ۣۜAƙαĭ ๖ۣۜHαɾυмα•™ [ RBL ] ❧PEWDS☙ chỉ biết đi copy thôi à ?

a) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)

b) \(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=-c\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=\left(-c\right)^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\cdot\left(-c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)( đpcm )

ta xét vế trái a^3+b^3+c^3= 
[(a+b)(a^2-ab+b^2)]+c^3.(1) 
Mà theo giả thuyết a+b+c=0 suy ra c= - (a+b)suy ra 
c^3= -(a+b)^3 
Thay vào`(1) ta co [(a+b)(a^2-ab+b^2)] - (a+b)^3 
(nhân tử chúng ta có)=(a+b)[a^2-ab+b^2-(a+b)^2] 
(phan h (a+b)^2) =(a+b)[a^2-ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)] 
=(a+b)(a^2-ab+b^2-a^2-2ab-b^2) 
=(a+b).(-3ab) 
= -(a+b).3ab (2) 
theo giả thuyết ta có: a+b+c=0 suy ra c= -(a+b) 
thay vào (2) ta dc 
=3abc 
ta kết luận :vế trái= vế phải 

chúc bn hc tốt

mình có cách giải khác ngắn hơn nè:

thay a^3+b^3=(a+b)^3 -3ab(a+b) .Ta có : 

a^3+b^3+c^3-3abc=0 

<=>(a+b)^3 -3ab(a+b) +c^3 - 3abc=0 

<=>[(a+b)^3 +c^3] -3ab.(a+b+c)=0 

<=>(a+b+c). [(a+b)^2 -c.(a+b)+c^2] -3ab(a+b+c)=0 

<=>(a+b+c).(a^2+2ab+b^2-ca-cb+c^2-3ab)... 

<=>(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0 

luôn đúng do a+b+c=0

=> vế trái = vế phải 

hc tốt

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{a+1}{b^2+1}=\Sigma_{cyc}\left(\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\right)\)

\(=\left(a+b+c+3\right)-\Sigma_{cyc}\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\)

\(\ge6-\Sigma_{cyc}\frac{b\left(a+1\right)}{2}=6-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)

\(\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b =c = 1

Is that true?

Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

Ta có:\(a^2+2b+3=a^2+2b+1+2\ge2\left(a+b+1\right)\)

Tương tự ta được:\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\right)\)

Ta sẽ chứng minh \(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\le1\)

\(\Leftrightarrow\frac{-b-1}{a+b+1}+\frac{-c-1}{b+c+1}+\frac{-a-1}{c+a+1}\le-2\)

\(\Leftrightarrow\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+1\right)^2}{\left(b+1\right)\left(a+b+1\right)}+\frac{\left(c+1\right)^2}{\left(c+1\right)\left(b+c+1\right)}+\frac{\left(a+1\right)^2}{\left(a+1\right)\left(c+a+1\right)}\ge2\)(*)

Áp dụng Bđt Cauchy-Schwarz dạng engel ta có:

VT(*)\(\ge\frac{\left(a+b+c+3\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3\left(a+b+c\right)+3}\)

Mà \(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3\left(a+b+c\right)+3\)

\(=\frac{1}{2}\left[a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)+6\left(a+b+c\right)+9\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c+3\right)^2\)

=>VT(*)\(\ge\)2=VP (*)

Vậy Bđt được chứng minh

Cho hỏi VT;VP là gì