Tìm các số nguyên tố a,b,c,d sao cho a/b+ c/d= 1
1) tìm các số nguyên tố a, b, c và số nguyên dương k sao cho a^2+b^2+16c^2 = 9k^2 +1
2)tìm a, b, c, d sao cho a^2+b^2+c^2+d^2 = 2abcd
cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. chứng minh p2 -1 chia hết cho 24
tìm số tự nhiên n sao cho n+1, n+77, n+99 đều là các số nguyên tố
cho a+b=c+d=e+f với a,b,c,d,e,f là các số nguyên tố phân biệt, nhỏ hơn 20. Tìm a+b
tìm số nguyên tố p sao cho p+2, p+94 là các số nguyên tố
1. Tìm 2 số tự nhiên, sao cho tổng và tích của chúng đều là số nguyên tố
2. Các số sau đều là số nguyên tố hay hợp số ?
a, A= 11...1 ( 2001 chữ số 1 )
b, B= 11...1 ( 2000 chữ số 1 )
c, C= 1010101
d, D= 1112111
e, E = 1! + 2! + 3! +..+ 100!
g, H = 311141111
3. Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố :
a, p + 2 và p + 10
b, p + 10 và p + 20
c, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14
hãy tìm các chữ số a,b,c,d sao cho các số a,ad,cd,abcd là các số nguyên tố
cho biết a ,b,c,d,p là các số nguyên tố thỏa mãn : p= a+b=c-d tìm các số a,b,c,d,p
1. Tìm các số nguyên tố a,b,c sao cho a.b.c=3(a+b+c)
2. Tìm số nguyên tố p sao cho 2p+1 là lập phương của 1 số nguyên tố
3. Cho a,b,c >0 . Cm \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
1) Tìm số nguyên tố có 2 chữ số khác nhau có dạng xy (x>y>0) sao cho hiệu của số đó với số viết theo thứ tự ngược lại của số đó là số chính phương
2) Cho 4 số nguyên a,b,c,d sao cho 2b=a+c, 2c=b+d, c^2+d^2<4. Tìm số nguyên a biết b=2
tìm các số nguyên a,b,c,d ,sao cho a+b+c+d =1;a+c+d=2;a+b+d=3;a+b+c=4
a, CMR với mọi số nguyên n không chia hết cho 5 thì \(n^4-1\) chia hết cho 5
b, Tìm tất cả các số nguyên tố a, b, c ,d, e tm \(a^4+b^4+c^4+d^4+e^4=abcde\)
c, Tìm các số nguyênduwongc a,b tm \(a\left(ab+1\right)⋮a^2+b\) và \(b\left(ab+1\right)⋮b^2-a\)
Đề HSG Nghệ An ak bạn
P = \(n^4-1=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-2\right)\left(n+2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
P \(⋮5\Leftrightarrow Q=\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮5\)
mà n không chia hết cho 5 => có dạng n = 5k + 1 ;5k + 2 ; 5k + 3 ;5k + 4 (k \(\in Z\))
Khi n = 5k + 1 => n - 1 \(⋮5\Rightarrow Q⋮5\Rightarrow P⋮5\)
tương tự với n = 5k + 2 ; n = 5k + 3 ; n = 5k + 4 thì Q \(⋮5\Rightarrow P⋮5\)
b.
Điều duy nhất cần chú ý trong bài toán này: \(n^4\equiv1\left(mod5\right)\) với mọi số nguyên n ko chia hết cho 5
Do đó:
- Nếu cả 5 số a;b;c;d;e đều ko chia hết cho 5 thì vế trái chia hết cho 5, vế phải ko chia hết cho 5 (ktm)
- Nếu cả 5 số a;b;c;d;e đều chia hết cho 5 thì do chúng là số nguyên tố
\(\Rightarrow a=b=c=d=e=5\)
Thay vào thỏa mãn
- Nếu có k số (với \(1\le k\le4\)) trong các số a;b;c;d;e chia hết cho 5, thì vế phải chia hết cho 5, vế phải chia 5 dư \(5-k\ne\left\{0;5\right\}\) nên ko chia hết cho 5 \(\Rightarrow\) ktm
Vậy \(\left(a;b;c;d;e\right)=\left(5;5;5;5;5\right)\) là bộ nghiệm nguyên tố duy nhất