\(\dfrac{x-y}{z^2+1}=\dfrac{x-y}{z^2+xy+yz+zx}=\dfrac{x-y}{z\left(z+y\right)+x\left(z+y\right)}=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}\)

Tương tự: \(\dfrac{y-z}{x^2+1}=\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\);\(\dfrac{z-x}{y^2+1}=\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(y-z\right)\left(y+z\right)+\left(z-x\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

\(=\dfrac{x^2-y^2+y^2-z^2+z^2-x^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=0\)(đpcm)

Đã tìm ra lời giải:

gt \(\Rightarrow\left(xy+yz+zx\right)^2=\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\ge3\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki:

\(\frac{1}{\left(x^2+y+1\right)\left(1+y+z^2\right)}\le\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\Rightarrow\frac{1}{x^2+y+1}\le\frac{1+y+z^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)

Tương tự rồi cộng lại, ta được:

\(VT\le\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x+y+z\right)+3}{\left(x+y+z\right)^2}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)+\left(xy+yz+zx\right)+3}{\left(x+y+z\right)^2}\)

\(=1+\frac{-\left(xy+yz+zx\right)+3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le1+\frac{-3+3}{3^2}=1\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: \(\frac{1}{\sqrt{xy}-4}+\frac{1}{\sqrt{yz}-4}+\frac{1}{\sqrt{zx}-4}\ge-1\)(*)

Theo BĐT Cauchy, ta có: \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z\)

Mà ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\Rightarrow x+y+z\le3\)nên \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le3\)

Theo BĐT Bunyakovsky dạng phân thức: \(\frac{1}{\sqrt{xy}-4}+\frac{1}{\sqrt{yz}-4}+\frac{1}{\sqrt{zx}-4}\)\(\ge\frac{9}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}-12}\ge\frac{9}{3-12}=-1\)

Suy ra (*) đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Ine CTV

dễ thấy \(x,y,z< \sqrt{3}\)\(\Rightarrow\)\(\sqrt{xy}-4< 0\); ... 

cauchy-schwarz chỉ dùng cho mẫu dương nha em, bài này lúc trước anh cũng lam sai, noi trước để đừng lục lại :D

Trước cũng giải bài này theo cách Kiệt nên sai. Đây là cách khác:

Trước hết chú ý: \(4-\sqrt{xy}\ge4-\frac{\left(x+y\right)}{2}\ge4-\frac{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{2}>4-\frac{\sqrt{6}}{2}>0\)

Do đó: \(4VT=\Sigma\frac{4}{4-\sqrt{xy}}=\Sigma\left(1+\frac{\sqrt{xy}}{4-\sqrt{xy}}\right)\le4\)

\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{\sqrt{xy}}{4-\sqrt{xy}}\le1\)

\(VT\le\Sigma\frac{\frac{\left(x+y\right)}{2}}{4-\frac{\left(x+y\right)}{2}}=\Sigma\frac{x+y}{8-x-y}\le1\)

Bất đẳng thức cuối rất đơn giản bởi phương pháp pqr và chú ý điều kiện \(p^2-2q=3\Rightarrow q=\frac{\left(p^2-3\right)}{2}\)

PS: Cố lắm mới giải bài này không dùng SOS đấy:v

Cho a, b, c mà bắt chứng minh x, y, z nên ko chứng minh đc là đúng òi:)

\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{\left(x-y\right)^4}{4xy\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)

a,b,c??? chỗ nào vậy bé ?? :)))

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn x+y+z=1 .Chứng minh

Chỗ e in đậm.

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)