q) \(3sin3x-\sqrt{3}cos9x=1+4sin^33x\)

\(\Leftrightarrow3sin3x-\sqrt{3}cos9x=1+3sin3x-sin9x\)

\(\Leftrightarrow sin9x-\sqrt{3}cos9x=1\)

\(\Leftrightarrow sin9x.cos\dfrac{\pi}{3}-cos9x.sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow sin\left(9x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{k2\pi}{9}\\x=\dfrac{7\pi}{54}+\dfrac{k2\pi}{9}\end{matrix}\right.\) (\(k\in Z\))

Vậy...

x) \(8sinx=\dfrac{\sqrt{3}}{cosx}+\dfrac{1}{sinx}\) 

(đk: \(cosx\ne0;sinx\ne0\) \(\Rightarrow sin2x\ne0\) \(\Leftrightarrow x\ne\dfrac{k\pi}{2}\);\(k\in Z\))

\(\Leftrightarrow8sinx=\dfrac{\sqrt{3}sinx+cosx}{cosx.sinx}\)

\(\Leftrightarrow\)\(8sinx.cosx.sinx=\sqrt{3}sinx+cosx\)

\(\Leftrightarrow4sinx.sin2x=\sqrt{3}sinx+cosx\)

\(\Leftrightarrow2\left(cosx-cos3x\right)=\sqrt{3}sinx+cosx\)

\(\Leftrightarrow cosx-\sqrt{3}sinx=2cos3x\)

\(\Leftrightarrow cosx.cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-sinx.sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=cos3x\)

\(\Leftrightarrow cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=cos3x\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}-k\pi\\x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}\end{matrix}\right.\)(\(k\in Z\)) (thỏa mãn)

Vậy...

\(\sqrt{2}\left(cos^4x-sin^4x\right)=sinx+cosx\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(cos^2x+sin^2x\right)\left(cosx-sinx\right)\left(cosx+sinx\right)=sinx+cosx\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left[\sqrt{2}\left(cosx-sinx\right)-1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\left[2cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\dfrac{\pi}{4}=k\pi\\x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x+\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\) (\(k\in Z\)) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=\dfrac{\pi}{12}+k2\pi\\x=-\dfrac{7\pi}{12}+k2\pi\end{matrix}\right.\)(\(k\in Z\))

Vậy...

Lời giải:
PT \(\Leftrightarrow 2(\sin \frac{\pi}{4}\cos x+\cos \frac{\pi}{4}\sin x)+(\sin x\cos \frac{\pi}{4}-\cos x\sin \frac{\pi}{4})=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2}(\cos x+\sin x)+\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x-\cos x)=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2(\cos x+\sin x)+(\sin x-\cos x)=3\)

\(\Leftrightarrow \cos x+3\sin x=3\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{10}}\cos x+\frac{3}{\sqrt{10}}\sin x=\frac{3}{\sqrt{10}}\)

\(\Leftrightarrow \sin t\cos x+\cos t\sin x=\cos t\) với \(\frac{1}{\sqrt{10}}=\sin t(t\in (0;\pi))\)

\(\Leftrightarrow \sin (t+x)=\cos t=\sin (\frac{\pi}{2}-t)\)

\(\Rightarrow t+x=\frac{\pi}{2}-t+2k\pi\) hoặc $t+x=\frac{\pi}{2}+t+2k\pi$ với $k$ nguyên.

j)\(sin^2x-2cos^2x=0,5-sin2x\)

\(\Leftrightarrow sin^2x-2cos^2x=\dfrac{1}{2}\left(sin^2x+cos^2x\right)-2.sinx.cosx\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}sin^2x+2.sinx.cosx-\dfrac{5}{2}cos^2x=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(sinx-cosx\right)\left(sinx+5cosx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx-cosx=0\left(1\right)\\sinx+5cosx=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1)\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-\dfrac{\pi}{4}=k\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) (\(k\in Z\))

Từ (2)\(\Leftrightarrow sinx=-5cosx\) 

Xét \(cosx=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinx=1\\sin2x=0\end{matrix}\right.\) thay vào pt ban đầu thấy ktm 

=>\(cosx\ne0\)

Pt (2)\(\Leftrightarrow\dfrac{sinx}{cosx}=-5\Leftrightarrow tanx=-5\)

\(\Leftrightarrow x=arctan\left(-5\right)+k\pi\) (\(k\in Z\))

Vậy...

n) Đk:\(x\ne\dfrac{-\pi}{6}+k2\pi;x\ne\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi;x\ne\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) (\(k\in Z\))

PT \(\Rightarrow\left(1-2.sinx\right)cosx=\sqrt{3}\left(1+2sinx\right)\left(1-sinx\right)\)

\(\Leftrightarrow cosx-2.sinx.cosx=\sqrt{3}\left(1+sinx-2sin^2x\right)\)

\(\Leftrightarrow cosx-sin2x=\sqrt{3}\left(cos^2x+sin^2x+sinx-2sin^2x\right)\)

\(\Leftrightarrow cosx-sin2x=\sqrt{3}\left(cos^2x-sin^2x+sinx\right)\)

\(\Leftrightarrow cosx-sin2x=\sqrt{3}\left(cos2x+sinx\right)\)

\(\Leftrightarrow cosx-\sqrt{3}sinx=sin2x+\sqrt{3}cos2x\)

\(\Leftrightarrow2.cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=2.cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{2}-k2\pi\\x=\dfrac{-\pi}{18}+\dfrac{k2\pi}{3}\end{matrix}\right.\) (k nguyên)

Kết hợp với đk => \(x=-\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{k2\pi}{3}\) (k nguyên)

a) Cách giải các phương trình lượng giác cơ bản:

+ Phương trình sin x = a.

Nếu |a| > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm.

Nếu |a| ≤ 1 ⇒ tìm một cung α sao cho sin α = a.

Khi đó phương trình trở thành sin x = sin α

⇒ Phương trình có nghiệm: 

+ Phương trình cos x = a.

Nếu |a| > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm.

Nếu |a| ≤ 1 ⇒ tìm một cung α sao cho cos α = a.

Khi đó phương trình trở thành cos x = cos α.

⇒ Phương trình có nghiệm: x = ±α + k2π (k ∈ Z).

+ Phương trình tan x = a.

Tìm một cung α sao cho tan α = a.

Khi đó phương trình trở thành tan x = tan α.

⇒ Phương trình có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z).

+ Phương trình cot x = a

Tìm một cung α sao cho cot α = a.

Khi đó phương trình trở thành cot x = cot α.

⇒ Phương trình có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z).

b) Cách giải phương trình a.sin x + b.cos x = c.

+ Nếu a = 0 hoặc b = 0 ⇒ Phương trình lượng giác cơ bản .

+ a ≠ 0 và b ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được:

Ta giải phương trình trên như phương trình lượng giác cơ bản.

Chọn D.

Phương pháp:

Phương trình thuần nhất đối với sin và cos, dạng 

Phương trình thuần nhất đối với sin và cos, dạng 

\(A=\sqrt{2}sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\Rightarrow-\sqrt{2}\le A\le\sqrt{2}\)

B ko rõ đề

\(C=\sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx-\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx\right)\)

Đặt \(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=cosy\Rightarrow\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=siny\)

\(\Rightarrow C=\sqrt{a^2+b^2}\left(sinx.cosy-cosx.siny\right)=\sqrt{a^2+b^2}sin\left(x-y\right)\)

\(\Rightarrow-\sqrt{a^2+b^2}\le C\le\sqrt{a^2+b^2}\)

\(D=\left(sin^2x-cos^2x\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)=sin^2x-cos^2x=-cos2x\)

\(\Rightarrow-1\le D\le1\)

y ' = a cos x + b sin x = - m

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi

y ' ≥ 0 , ∀ x ∈ ℝ ⇔ a sin x + b cos x ≥ m ⇔ m ≤ m i n f x

với  f x = a sin x + b cos x

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

f x ≤ a 2 + b 2 ⇔ - a 2 + b 2 ≤ f x ≤ a 2 + b 2

Vậy  m ≤ - a 2 + b 2

Đáp án C