Do a, b là các số tự nhiên nên 100a + 3b + 1 và 2^a + 10a + b cũng là các số tự nhiên.

Ta có 225 = 3².5² nên \(Ư\left(225\right)=\left\{1;3;5;9;15;25;45;75;225\right\}\)

Nếu a = 0 thì ta có (3b + 1)(1 + b) = 225 

Do 1 + b < 3b + 1 nên ta có bảng:

Vậy ta có a = 0, b = 8.

Với a khác 0, ta có 100a > 100. Vậy thì 100a+ 3b + 1 = 225 hay a = 1 hoặc a = 2

Với a = 1, ta có: 12 + b = 1 (L)

Với a = 2, ta có: 24 + b = 1 (L)

Vậy tóm lại ta tìm được a = 0, b = 8.

Ta thấy 225 là số lẻ nên 100a + 3b + 1 và 2^a + 10a + b cũng là các số lẻ.

Do 100a + 3b + 1 là số lẻ mà 100a là số chẵn nên 3b là số chẵn tức b là só chẵn.

Kết hợp với 2^a + 10a + b là số lẻ ta có 2^a là số lẻ

\(\Leftrightarrow2^a=1\Leftrightarrow a=0\).

Khi đó: \(\left(3b+1\right)\left(b+1\right)=225\)

\(\Leftrightarrow\left(b-8\right)\left(3b+28\right)=0\Leftrightarrow b=8\) (Do b là số tự nhiên).

Vậy a = 0; b = 8.

?

Nếu \(a\ge1\)thì \(100a+3b+1\ge100\)suy ra \(100a+3b+1=225\)

\(\Rightarrow2^a+10a+b=1\)(vô lí do \(a\ge1\))

Do đó \(a=0\). 

Phương trình ban đầu trở thành: 

\(\left(3b+1\right)\left(b+1\right)=225=3^2.5^2\).

Vì \(3b+1\)chia cho \(3\)dư \(1\)nên \(\orbr{\begin{cases}3b+1=25\\3b+1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=8\\b=0\end{cases}}\).

Thử lại thấy \(b=8\)thỏa mãn.

Vậy \(\left(a,b\right)=\left(0,8\right)\).

Theo đề 2008a + 3b + 1 và 2008^a + 2008a + b luôn lẻ với mọi a ; b

Xét \(a\ne0\) => \(2008^a+2008a\) là số chẵn . Để \(2008^a+2008a+b\) lẻ <=> b lẻ

=> 3b + 1 chẵn => 2008a + 3b + 1 chẵn ( K⁰TM ) => a = 0 Thay vào đẳng thức ta được :

\(\left(3b+1\right)\left(b+1\right)=225\)

Vì b là số tự nhiên => \(\left(3b+1\right)\left(b+1\right)=3.75=5.45=9.25\)

3b + 1 ko chia hết cho 3 => 3b + 1 > b + 1

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3b+1=25\\b+1=9\end{cases}\Rightarrow b=8}\)

Vậy a = 0; b = 8

a=0

b=8

Do 225 là số lẻ \(\Rightarrow2008a+3b+1;2008^a+2008a+b\) lẻ 

Nếu \(a\ne0\Rightarrow2008^a+2008a\) chẵn \(\Rightarrow b\) lẻ

\(\Rightarrow3b+1\) chẵn \(\Rightarrow2008a+3b+1\) chẵn (  loại )
Nếu \(a=0\Rightarrow\left(3b+1\right)\left(b+1\right)=0=225=3\cdot75=5\cdot45=9\cdot25\)

Do \(3b+1\) không chia hết cho 3 và \(3b+1>b+1\Rightarrow3b+1=25\Rightarrow b=8\)

Bài 1:

Ta có:

\(\left(100a+3b+1\right)\left(2^a+10a+b\right)=225\left(1\right)\)

Mà \(225\) lẻ nên \(\left\{{}\begin{matrix}100a+3b+1\\2^a+10a+b\end{matrix}\right.\) cùng lẻ \(\left(2\right)\)

\(*)\) Với \(a=0\) ta có:

Từ \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(100.0+3b+1\right)\left(2^a+10.0+b\right)=225\)

\(\Leftrightarrow\left(3b+1\right)\left(1+b\right)=225=3^2.5^2\)

Do \(3b+1\div3\) dư \(1\) và \(3b+1>1+b\)

Nên \(\left(3b+1\right)\left(1+b\right)=25.9\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3b+1=25\\1+b=9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow b=8\)

\(*)\) Với \(a\ne0\left(a\in N\right)\) ta có:

Khi đó \(100a\) chẵn, từ \(\left(2\right)\Rightarrow3b+1\) lẻ \(\Rightarrow b\) chẵn

\(\Rightarrow2^a+10a+b\) chẵn, trái với \(\left(2\right)\) nên \(b\in\varnothing\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=8\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

Ta có:

\(A=\dfrac{1}{1+3}+\dfrac{1}{1+3+5}+...+\dfrac{1}{1+3+...+2017}\)

\(=\dfrac{1}{\dfrac{\left(1+3\right).2}{2}}+\dfrac{1}{\dfrac{\left(1+5\right).3}{2}}+...+\dfrac{1}{\dfrac{\left(1+2017\right).1009}{2}}\)

\(=\dfrac{2}{2.4}+\dfrac{2}{3.6}+\dfrac{2}{4.8}+...+\dfrac{2}{1009.2018}\)

\(=\dfrac{1}{2.2}+\dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+...+\dfrac{1}{1009.1009}\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{2.2}+\left(\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{1008.1009}\right)\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{4}+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{1008}-\dfrac{1}{1009}\right)\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{4}+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1009}\right)\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}\) (Đpcm)

\(\left(10a+5\right)^2=\left(10a\right)^2+2.10a.5+5^2=100a^2+100a+25\)

\(=100\left(a+1\right)+25\)(đpcm)

suy ra công thức bình phương của một số tân cùng bằng 5