Ta có : \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow\left|a\right|;\left|b\right|;\left|c\right|\le1\)

\(\Rightarrow-1\le a;b;c\le1\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow a+b+c+ab+ac+bc+abc+1\ge0\left(1\right)\)

Lại có : \(\left(a+b+c+1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac+a+b+c\right)+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac+a+b+c+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac+a+b+c+1\ge0\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) \(\Rightarrow abc+2\left(ab+bc+ac+a+b+c+1\right)\ge0\left(đpcm\right)\)

Vi a^2+b^2+c^2=1 
=>-1=<a,b,c=<1 
=>(1+a)(1+b)(1+c)>=0 
=>1+abc+ab+bc+ca+a+b+c>=0 (1*) 
Lại có (a+b+c+1)^2/2>=0 
=>[a^2+b^2+c^2+1+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca 
]/2>=0 
=>[2+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca]/2>=0 (Thay a^2+b^2+c^2=1) 
=>1+a+b+c+ab+bc+ca>=0 (2*) 
tu (1*)(2*) ta co abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)>=0 
dau = xay ra <=>a+b+c=-1 va a^2+b^2+c^2=1 
<=>a=0,b=0,c=-1 va cac hoan vi cua no

Vì a^2+b^2+c^2=1 
=>-1=<a,b,c=<1 
=>(1+a)(1+b)(1+c)>=0 
=>1+abc+ab+bc+ca+a+b+c>=0 (1*) 
Lại có (a+b+c+1)^2/2>=0 
=>[a^2+b^2+c^2+1+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca 
]/2>=0 
=>[2+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca]/2>=0 (Thay a^2+b^2+c^2=1) 
=>1+a+b+c+ab+bc+ca>=0 (2*) 
tu (1*)(2*) ta co abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)>=0 
dau = xay ra <=>a+b+c=-1 va a^2+b^2+c^2=1 
<=>a=0,b=0,c=-1 và các hoan vi của nó

Vì a^2+b^2+c^2=1 
=>-1=<a,b,c=<1 
=>(1+a)(1+b)(1+c)>=0 
=>1+abc+ab+bc+ca+a+b+c>=0 (1*) 
Lại có (a+b+c+1)^2/2>=0 
=>[a^2+b^2+c^2+1+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca 
]/2>=0 
=>[2+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca]/2>=0 (Thay a^2+b^2+c^2=1) 
=>1+a+b+c+ab+bc+ca>=0 (2*) 
tu (1*)(2*) ta co abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)>=0 
dau = xay ra <=>a+b+c=-1 va a^2+b^2+c^2=1 
<=>a=0,b=0,c=-1 và các hoan vi của nó

Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2-ab\ge ab\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}\le\dfrac{1}{ab}=\dfrac{abc}{ab}=c\) ( do $abc=1$ )

Tương tự ta có :

\(\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}\le a\)

\(\dfrac{1}{c^2-ab+a^2}\le b\)

Cộng vế với vế các BĐT trên có :

\(\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2-ac+a^2}\le a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

\(VT=\dfrac{1}{a^2+b^2-ab}+\dfrac{1}{b^2+c^2-bc}+\dfrac{1}{c^2+a^2-ca}\)

\(VT\le\dfrac{1}{2ab-ab}+\dfrac{1}{2bc-bc}+\dfrac{1}{2ca-ca}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a+b+c}{abc}=a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

\(a,\dfrac{3}{a+b}=\dfrac{2}{b+c}=\dfrac{1}{c+a}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{b+c}{2}=\dfrac{c+a}{1}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{6}=\dfrac{a+b+c}{3}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{a+b+c}{3}\\ \Rightarrow3\left(a+b+c\right)=3\left(a+b\right)\\ \Rightarrow3\left(a+b\right)+3c=3\left(a+b\right)\\ \Rightarrow3c=0\\ \Rightarrow c=0\)

Vậy \(P=\dfrac{a+b-2019c}{a+b+2018c}=\dfrac{a+b}{a+b}=1\)

Ta có a^2+b^2+c^2=1

ma a^2 ,b^2,c^2>=0

=> a,b,c>-1

=> (a+1)(b+1)(c+1)>=0

=> 1+ab+bc+ac+a+b+c+abc>=0(1)

 lai co (a+b+c+1)^2=a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ac+1

                               =2( 1+ab+bc+ac+a+b+c)>=0(2)

tu 1 va 2 => dpcm

\(P=\frac{a^2}{a^3+abc}+\frac{b^2}{b^3+abc}+\frac{c^2}{c^3+abc}.\) " nhân cả tử cả mẫu cho a ,   b ,  c lần lượt

\(\frac{a^2}{a^3+abc}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{a^3}+\frac{a^2}{abc}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{bc}\right)\left(cosishaw\right)\)

\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\)

từ đề bài ta suy ra

\(bc=\frac{a^2+B^2+c^2}{a};ac=\frac{a^2+B^2+c^2}{b};ab=\frac{a^2+b^2+c^2}{c}.\)

\(\frac{a}{bc}=\frac{a}{\frac{a^2+B^2+c^2}{a}}=\frac{a^2}{a^2+B^2+c^2}\)

\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\right)\)

\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+1\right)\)

từ đề bài suy ra tiếp 

\(a=\frac{a^2+b^2+c^2}{bc};\frac{1}{a}=\frac{1}{\frac{a^2+b^2+c^2}{bc}}=\frac{bc}{a^2+B^2+c^2}\) " tương tự với các số hạng 

suy ra 

\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{bc+ac+Ab}{a^2+b^2+c^2}+1\right)\)

\(bc+ac+ab\le a^2+B^2+c^2\left(cosi\right)\)

\(P\le\frac{1}{4}\left(1+1\right)=\frac{1}{2}\)

max của P là 1/2

dấu = xảy ra khi a=b=c=3

thử thay vào ta được

\(\frac{a}{a^2+a^2}+\frac{a}{a^2+a^2}+\frac{a}{a^2+a^2}=\frac{a}{2a^2}+\frac{a}{2a^2}+\frac{a}{2a^2}=\frac{3}{2a}=\frac{3}{2.3}=\frac{1}{2}\) " đúng "

sửa lại cái đề bài thành  \(a^2+b^2+c^2=abc\)  đi

không bọn não chó nó tích sai cho tao đấy dcmmm 

bọn ngu học :)

\(a^2+ab+b^2=\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)\)

Tương tự và cộng lại:

\(P\ge\sqrt{3}\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}\)

\(P_{min}=\sqrt{3}\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Câu này mik trả lời rồi nhé bạn , có trong câu hỏi tương tự nha