nối M với h, ta có: 
MH = AC/2 = MC ( trung tuyến = 1/2 cạnh huyền của tam giác vuông AHC) 
=> MHC^ = MCH^ = 2.KCH^ ( vì CK là phân giác của ACB^) 
gt: KB = KC => KCH^ = KBH^ 
=> MHC^ = 2.KBH^ = KBH^ + KBH^ (1) 
mắt khác: 
MHC^ = KBH^ + KMH^ (2) ( góc ngoài và trong của tam giác BMH) 
(1) và (2) => KBH^ = KMH^ => BHM cân tại H => HB = HM (1) 
tổng góc trong của tam giác BMH là: 
KBH^ + BHA^ + AHM^ + KMH^ = 180* 
=> 2.KBH^ + 90* + AHM^ = 180* 
=> 2.KBH^ + AHM^ = 90* (2) 
tam giác AHC vuông => MAH^ + MCH^ = 90* 
=> MAH^ + 2.KCH^ = 90* 
=> MAH^ + 2.KBH^ = 90* (3) ( vì KCH^ = KBH^) 
(2) và (3) => AHM^ = MAH^ => HA = HM 
mặt khác: HM = AC/2 = AM 
=> HA = HM = AM => AHM là tam giác đều => HA = HM (4) 
(1) và (4) => HA = HB 
=> AHM là tam giác đều => MAH^ = 60* => ACB^ = 30* 
=> ABC^ = 180* - BAC^ - ACB^ = 180* - 105* - 30* = 45* 
(hoặc ABC^ = ABH^ = 45* => ACB^ = 30*)

a) \(\Delta ABC\)có: \(\widehat{ACB}=180^o-75^o-60^o=45^o\)

\(\Delta\)DAB vuông tại A có: \(\widehat{DBA}\)=60^o-15^o=45^o

=> \(\Delta\)DAB cân tại A => \(\widehat{ADB}\)=45^o

Tứ giác ABCD có: \(\widehat{ADB}=\widehat{ACB}\left(=45^o\right)\)

=> Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

=> \(\widehat{DCB}+\widehat{DAB}=180^o\)

=> \(\widehat{DCB}=90^o\)

=> DC _|_ BC(đpcm)

b) \(\Delta\)ABD vuông cân tại A nên AD=AB=1

=> BD²=AB²+AD²=1²+1²=2

Xét \(\Delta\)DCB vuông tại C có:

CD²+BC²=BD²=2

Vậy BC²+CD²=2

Do ΔABC cân tại B => A = C = \(\dfrac{180^o-80^o}{2}=50^o\)

=> góc BAI = 50^o - 10^o = 40^o 

góc BCI = 50^o - 30^o = 20^o

=> \(IBC=\dfrac{1}{3}ABI\Rightarrow IBC=\dfrac{80^o}{3+1}=20^o;ABI=80^o-20^o=60^o\)

\(\Leftrightarrow AIB=180^o-40^o-60^o=80^o\)