\(\Delta=25-4\left(3m-1\right)=29-12m\ge0\Rightarrow m\le\dfrac{29}{12}\)

Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-5\\x_1x_2=3m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^3+x_2^3+3x_1x_2=-35\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+3x_1x_2=-35\)

\(\Leftrightarrow\left(-5\right)^3+15\left(3m-1\right)+3\left(3m-1\right)=-35\)

\(\Leftrightarrow18\left(3m-1\right)=90\)

\(\Rightarrow m=2\) (thỏa mãn)

\(\text{Δ}=5^2-4\cdot1\cdot\left(3m-1\right)\)

\(=25-4\left(3m-1\right)\)

\(=25-12m+4=-12m+29\)

Để phương trình (1) có hai nghiệm thì Δ>=0

=>-12m+29>=0

=>-12m>=-29

=>\(m< =\dfrac{29}{12}\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-5}{1}=-5\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3m-1}{1}=3m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^3+x_2^3+3x_1x_2=-35\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+3x_1x_2=-35\)

=>\(\left(-5\right)^3-3\cdot\left(3m-1\right)\cdot\left(-5\right)+3\cdot\left(3m-1\right)=-35\)

=>\(-125+15\left(3m-1\right)+9m-3=-35\)

=>\(-125+45m-15+9m-3=-35\)

=>54m-143=-35

=>54m=108

=>m=2(nhận)

PT có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta=\left(2m-3\right)^2-4\left(m-3\right)=9>0\)

Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Ta có \(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m-3+3}{2}=m\\x_2=\dfrac{2m-3-3}{2}=m-3\end{matrix}\right.\)

Ta thấy \(m>m-3\) nên \(1< m-3< m< 6\Leftrightarrow4< m< 6\)

Vậy \(4< m< 6\)  thỏa yêu cầu đề

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bước 2: Khi phương trình đã có hai nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để tìm các giá trị của tham số.

Bước 3. Đối chiếu với điều kiện và kết luận bài toán.

xem tr sách của anh

Bài 1:

PT có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta=\left(m+2\right)^2-4\cdot2\ge0\Leftrightarrow m^2+4m-8\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-2-2\sqrt{3}\\m\ge-2+2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng Viét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\)

Ta có \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow2\left(x_1^2+x_2^2\right)=9x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]=18\\ \Leftrightarrow2\left(m+2\right)^2-8=18\\ \Leftrightarrow2m^2+8m+8-8=18\\ \Leftrightarrow m^2+4m-9=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2+\sqrt{13}\\m=-2-\sqrt{13}\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)