C = 4.111...1    +     2.111...1      +     8.111...1    +    7 

        2n c/s 1            n + 1 c/s 1           n c/s 1 

Đặt 111...1 (n c/s 1) = a => 999..9 (n c/s 9) = 9a => 999...9 + 1 = 9a + 1 => 10ⁿ = 9a + 1

=> 111...1 (2n c/s 1) = 111...1000..0 + 111...1  = 111...1.10ⁿ + 111...1 = a.(9a + 1) + a = 9a² + 2a

111...1 (n + 1 c/s 1) = 111...10 + 1 = 111...1.10 + 1 = a.10 + 1 = 10a + 1

Vậy C = 4.(9a² + 2a) + 2.(10a + 1) + 8.a + 7 = 36a² + 36a + 9 = (6a + 3)² = (666..6 + 3)² = 666...69² (n - 1 c/s 6)

Vậy C là số chính phương

C=44444.....4444000.......0000 +4444......444+2.10ⁿ⁺¹+222......2222222+8........8 +7

     |n cs 4|             |n cs 0|             |n cs 4|                    |n cs 2|               |n cs 8|

=444.....44.10ⁿ+4.1111.....11+20.10ⁿ+2.1111....111+8.1111....111+7

=1111.....111.(4.10ⁿ+4+2+8)+20.10ⁿ+7

Bí :v

C = 4.111...1 + 2.111...1 + 8.111...1 + 7

        2n c/s        1 n + 1 c/s     1 n c/s 1

Đặt 111...1 (n c/s 1) = a => 999..9 (n c/s 9) = 9a

                                          => 999...9 + 1 = 9a + 1 => 10ⁿ = 9a + 1

 => 111...1 (2n c/s 1) = 111...1000..0 + 111...1 = 111...1.10ⁿ + 111...1 = a.(9a + 1) + a = 9a² + 2a 111...1 (n + 1 c/s 1)

                                     = 111...10 + 1 = 111...1.10 + 1 = a.10 + 1 = 10a + 1

Vậy C = 4.(9a² + 2a) + 2.(10a + 1) + 8.a + 7 = 36a² + 36a + 9 = (6a + 3)² = (666..6 + 3)² = 666...69² (n - 1 c/s 6)

Vậy C là số chính phương

C = 4.111...1    +     2.111...1      +     8.111...1    +    7 

        2n c/s 1            n + 1 c/s 1           n c/s 1 

Đặt 111...1 (n c/s 1) = a => 999..9 (n c/s 9) = 9a => 999...9 + 1 = 9a + 1 => 10ⁿ = 9a + 1

=> 111...1 (2n c/s 1) = 111...1000..0 + 111...1  = 111...1.10ⁿ + 111...1 = a.(9a + 1) + a = 9a² + 2a

111...1 (n + 1 c/s 1) = 111...10 + 1 = 111...1.10 + 1 = a.10 + 1 = 10a + 1

Vậy C = 4.(9a² + 2a) + 2.(10a + 1) + 8.a + 7 = 36a² + 36a + 9 = (6a + 3)² = (666..6 + 3)² = 666...69² (n - 1 c/s 6)

Vậy C là số chính phương

sao 2 bn làm bài giống nhau zậy

Thay \(a=444...4;\) \(b=222...2;\) \(c=888...8\) vào biểu thức ta được
\(C=444...4+222...2+888...8+7\)
\(\Leftrightarrow C=4\left(111...1\right)+2\left(111...1\right)+8\left(111...1\right)+7\)
................2n c/s 4.........n+1 c/s 2..........n c/s 8...........
Đặt 111.11(n c/s 1) \(=a\)
\(\Rightarrow\)999...9(n c/s 9) \(\) \(=9a\Rightarrow999...9+1=9a+1\Rightarrow10^n=9a\)
Đặt 111...1(2n c/s 1) \(=111...1000..0+111...1=111...1\times10^n+111...1=a\left(9a+1\right)+a=9a^2+2a\)
Đặt 111...1(n+1 c/s 1)
\(=111...10+1=111...1\times10+1=10a+1\)
\(\Rightarrow C=4\left(9a^2+2a\right)+2\left(10a+1\right)+8a+7=36a^2+36a+9=\left(6a+3\right)^3=\left(666...6+3\right)^2=666...69^2 \)(n-1 c/s 6)
Vậy C là một chính phương
(má ơi làm bài này mệt như j í ><)

Mấy bạn giải theo công thức
\(\overline{aaa....aa}=\dfrac{10^n-1}{9}\)
(n c/s a)

\(S=\frac{4\left(10^{2014}-1\right)}{9}+\frac{2\left(10^{1008}-1\right)}{9}+\frac{8\left(10^{1007}-1\right)}{9}+7\)

\(S=\frac{4.10^{2014}}{9}-\frac{4}{9}+\frac{2.10^{1008}}{9}-\frac{2}{9}+\frac{8.10^{1007}}{9}-\frac{8}{9}+7\)

\(S=\frac{4.10^{2014}}{9}+\frac{2.10.10^{1007}}{9}+\frac{8.10^{1007}}{9}+\frac{49}{3}\)

\(S=\left(\frac{2.10^{1007}}{3}\right)^2+2.\frac{2.10^{1007}}{3}.\frac{7}{3}+\left(\frac{7}{3}\right)^2\)

\(S=\left(\frac{2.10^{1007}}{3}+\frac{7}{3}\right)^2\) là số chính phương

Khó quá tui ko làm đc