1) So sánh
\(\frac{n+1}{n+2}và\frac{n}{n+3}\)
2)a) Cho \(\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\)(b,d khác 0). Chứng minh rằng a x d > b x c
b) Cho a x d > b x c(b,d khác 0).Chứng minh rằng \(\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\)
Giúp mình với, mình đang cần gấp
1. a)Cho a-b+c-d=0. Chứng minh rằng: a3 - b3 + c3 - d3=3(c-d)(cd-ab)
b) cho a+d=b-c. Chứng minh rằng: a3 - b3 + c3 + d3=3(a-b)(ab+dc)
2. a)Cho \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\)=0. Tính S= \(\frac{yz}{x^2}-\frac{xy}{z^2}-\frac{zx}{y^2}\)
b) Cho \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}\)=0. Tính S= \(\frac{9xy}{2z^2}+\frac{yz}{6x^2}+\frac{4zx}{3y^2}\)
Bài 1:Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng :
\(\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^4}{\left(c+d\right)\left(c^2+d^2\right)}+\frac{d^4}{\left(d+a\right)\left(d^2+a^2\right)}\ge\frac{a+b+c+d}{4}\)
Bài 2:Cho \(a>0,b>0,c>0\).\(CM:\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Bài 3: a) Cho x,y,>0. CMR:\(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\)
b) Chứng minh rằng\(\Sigma\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
3a biến đổi tí là xong
b tuong tự bài 1
Cho \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}\)với a,b,c,d khác 0 ; c khác +d và -d . chứng minh rằng hoặc a/b = c/d hoặc a/b = d/c
Ta có :
\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}=\frac{2ab}{2cd}=\frac{a^2+b^2+2ab}{c^2+d^2+2cd}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2\left(1\right)\)
\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}-\frac{2ab}{2cd}=\frac{a^2+b^2-2ab}{c^2+d^2-2cd}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^2\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^2\)
TH1 : \(\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}=\frac{\left(a+b\right)+\left(a-b\right)}{\left(c+d\right)+\left(c-d\right)}=\frac{2a}{2c}=\frac{a}{b}\left(3\right)\)
\(\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}=\frac{\left(a+b\right)-\left(a-b\right)}{\left(c+d\right)-\left(c-d\right)}=\frac{2b}{2d}=\frac{b}{d}\left(4\right)\)
từ ( 3 ) và ( 4 ) suy ra : \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\text{ hay }\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
TH2 : \(\frac{a+b}{c+d}=\frac{b-a}{c-d}=\frac{\left(a+b\right)+\left(b-a\right)}{\left(c+d\right)+\left(c-d\right)}=\frac{2b}{2c}=\frac{b}{c}\left(5\right)\)
\(\frac{a+b}{c+d}=\frac{b-a}{c-d}=\frac{\left(a+b\right)-\left(b-a\right)}{\left(c+d\right)-\left(c-d\right)}=\frac{2a}{2d}=\frac{a}{d}\left(6\right)\)
Từ ( 5 ) và ( 6 ) suy ra : \(\frac{b}{c}=\frac{a}{d}\text{ hay }\frac{a}{b}=\frac{d}{c}\)
Vậy : \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}\text{ thì }\orbr{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\\frac{a}{b}=\frac{d}{c}\end{cases}}\)
kinh quá
Bài 1: cho tỷ lệ thức a/b=c/d khác 1 và -1 và c khác 0. Hãy chứng minh:
A) \(\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^2=\frac{ab}{cd}\)
B) \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^3=\frac{a^3-b^3}{c^3-d^3}\)
Bài 2: cho biết a=c+b và c=bd/b-d(b khác d khác 0). Hãy chứng minh a/b=c/d.
Bài 3:Hãy chứng minh c =0 khi \(\frac{a+b+c}{a+b-c}=\frac{a+b+c}{a-b-c}\) với b khác 0
Bài 1: Tìm hai số x, y biết rằng:
\(\frac{x}{2}=\frac{y}{5}\) và xy = 10
Bài 2: Chứng minh rằng tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) (a - b khác 0, c - d khác 0) ta có thể suy ra tỉ lệ thức \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)
\(\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=k\Rightarrow x=2k;y=5k\Rightarrow x.y=2k.5k=10\Rightarrow10k^2=10\Rightarrow k^2=1\Rightarrow k\in\left\{1;-1\right\}\)
k=1 thì \(\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=1\Rightarrow x=2;y=5\)
k=-1 thì \(\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=-1\Rightarrow x=-2;y=-5\)
1. Cho 2 số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\)và \(\frac{c}{d}\)với b > 0, d > 0. Chứng tỏ rằng nếu \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)thì \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
2. Cho \(a,b,n\in Z\)và b > 0, n > 0
Hãy so sánh 2 số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\)và \(\frac{a+n}{b+n}\)
1.
Ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad< bc\Leftrightarrow ab+ad< ad+bc\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) (1)
Lại có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow bc>ad\Leftrightarrow bc+cd>ad+cd\Leftrightarrow c\left(b+d\right)>d\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{c}{d}>\frac{a+c}{b+d}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
2.
Ta có: a(b + n) = ab + an (1)
b(a + n) = ab + bn (2)
Trường hợp 1: nếu a < b mà n > 0 thì an < bn (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra a(b + n) < b(a + n) => \(\frac{a}{n}< \frac{a+n}{b+n}\)
Trường hợp 2: nếu a > b mà n > 0 thì an > bn (4)
Từ (1),(2),(4) suy ra a(b + n) > b(a + n) => \(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)
Trường hợp 3: nếu a = b thì \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}=1\)
Bài 1:
Cho tỉ lệ thức \(\frac{x}{4}=\frac{y}{7}\)và xy=112. Tìm x và y.
Bài 2:
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)(với b + d khác 0) ta suy ra được \(\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}\)
Bài 3:
Cho a,b,c,d khác 0. Từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)hãy suy ra tỉ lệ thức \(\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}\)
Giúp mk vs mk sẽ tick cho nha!
Bài 1: Ta có: \(\frac{x}{4}=\frac{y}{7}\Rightarrow7x=4y\) (1)
=> 7xy=4yy
=> 7.112=4.y2
=> y2=784:4
=> y2=196.
Mà vì 196= 14.14 => y=14 (2)
TỪ (1) và (2) => 14.4=x.7
=> x=56:7=8
Vậy x=8;y=14
Cho tỉ lệ thức \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}\) với a,b,c,d khác 0 và c khác-d
Chứng minh rằng : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)hoặc \(\frac{a}{b}=\frac{d}{c}\)
Ta có : \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)cd=ab\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2cd+b^2cd=abc^2+abd^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2cd-abd^2\right)+\left(b^2cd-abc^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ad\left(ac-bd\right)-bc\left(ac-bd\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ac-bd\right)\left(ad-bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}ac=bd\\ad=bc\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\\frac{a}{b}=\frac{d}{c}\end{cases}}\) (đpcm)
Bài 1: Chứng minh rằng (x, y, z > 0)
Bài 2: Cho a + b + c > 0; abc > 0; ab + bc + ca > 0. Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0.
Bài 3: Chứng minh rằng (a, b, c > 0)
Bài 4: Chứng minh rằng (a + b) (b + c) (c + a) 8abc (a, b, c
0)
Bài 5: Chứng minh rằng (a, b, c, d
0)
Bài 6: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn .
Chứng minh .
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng (a+b-c) (b+c-a) (c+a-b) ab.
Bài 8: Cho x, y, z > 0; x+y+z = 1. Chứng minh rằng .
Bài 9: Cho 2 số có tổng không đổi. Chứng minh rằng tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau.
Bài 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.
=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2
BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)
VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)
Dấu''='' tự giải ra nhá
Bài 4
dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)
rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm.
đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
bài 1 \(\left(\frac{x}{y}\right)^2+\left(\frac{y}{z}\right)^2\ge2\times\frac{x}{y}\times\frac{y}{z}=2\frac{x}{z}\)
làm tương tự rồi cộng các vế các bất đẳng thức lại với nhau ta có dpcm ( cộng xong bạn đặt 2 ra ngoài ý, mk ngại viết nhiều hhehe)