Ta có $f(1) = (1^2+1+1)^{2018} + (1^2-1+1)^{2018} - 2= 3^{2018} - 2 \ne 0$ nên theo định lý Bezout thì $f(x)$ không chia hết cho $(x-1)$, dẫn đến $f(x)$ không chia hết cho $(x^2-x)$

@Beautiful Angel ơi, đa thức này chia hết cho đa thức kia khi 2 đa thức có cùng tập nghiệm đó, giả sử trong bài này, bạn tìm nghiệm của g(x), rồi thấy nghiệm đso vào f(x) nếu thay vào và f(x) = 0 thì có nghĩa là f(x) chia hết g(x) còn ko thì ngược lại :), đó là định lí bơzout đó bạn :)), cái này mình đọc trong chuyên đề, chắc học thường ko có

2018 + x chia hết 23

Lời giải:

Ta thấy: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$. Do đó để $f(x)$ chia hết cho $g(x)$ thì $f(x)\vdots x-1$ và $f(x)\vdots x-2$

Tức là $f(1)=f(2)=0$ (theo định lý Bê-du)

$\Leftrightarrow 3-2+(a-1)+3+b=3.2^4-2.2^3+(a-1).2^2+3.2+b=0$

$\Leftrightarrow a+b=-3$ và $4a+b=-34$

$\Rightarrow a=\frac{-31}{3}$ và $b=\frac{22}{3}$

2) Ta có đẳng thức sau: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

 Chứng minh thì bạn chỉ cần bung 2 vế ra là được.

 \(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-2abc\)

 Do \(a+b+c⋮4\) nên ta chỉ cần chứng minh \(abc⋮2\) là xong. Thật vậy, nếu cả 3 số a, b,c đều không chia hết cho 2 thì \(a+b+c\) lẻ, vô lí vì \(a+b+c⋮4\). Do đó 1 trong 3 số a, b, c phải chia hết cho 2, suy ra \(abc⋮2\).

 Do đó \(P⋮4\)

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(m^2-m+1\right)\)

=4m^2-4m^2+4m-4=4m-4

Để (1) có 2 nghiệm thì 4m-4>=0

=>m>=1

Lời giải:

$f(x_1)-f(x_2)=2018mx_1-2018mx_2=2018m(x_1-x_2)$

$=f(x_1-x_2)$ (đpcm)

$f(kx)=2018m(kx)=k.2018mx=kf(x)$ (đpcm)