Cho 3 số \(a,b,c\ne0\)thỏa mãn: \(a\ne b\ne c\)và \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
\(P=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\); \(Q=\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\)
Chứng minh rằng: P.Q=9
Những câu hỏi liên quan
\(Cho\)\(a\ne b\ne c\ne d\ne0\)thỏa mãn điều kiện: \(b^2=ac;c^2=bd\)và\(b^3+c^3+d^3\ne0.CMR:\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)
Ta có:
\(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)
\(c^2=bd\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có : \(b^2=ac\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) (1)
\(c^2=bd\)
\(\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}\) , \(\frac{b}{c}.\frac{b}{c}.\frac{b}{c}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}\) và \(\frac{c}{d}.\frac{c}{d}.\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{a}{d}\) , \(\frac{b^3}{c^3}=\frac{a}{d}\) và \(\frac{c^3}{d^3}=\frac{a}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a}{d}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\)
Vậy \(\frac{a}{d}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có:
\(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)
\(c^2=bd\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}\)
\(ADTCDTSBN,\)ta có:
\(\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\left(1\right)\)
Lại có:\(\frac{a^3}{b^3}=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a}{d}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho \(P=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\)và \(Q=\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\)với \(a\ne b\ne c\), a,b,c khác 0 và \(a^3+b^3+c^3=3abc\) CMR: PQ=9
Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3abc \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(tm\right)\\a=b=c\left(loai\right)\end{cases}}\)
Rút gọn P
\(P=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}=\frac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)}{abc}\)
Xét : ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) = ab[-(b-c)-(c-a)] + bc(b-c) + ac(c-a)
= (b-c)(bc-ab) + (c-a)(ac-ab) = b(b-c)(c-a) + a(c-a)(c-b) = (c-a)(c-b)(a-b)
\(\Rightarrow P=\frac{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(a-b\right)}{abc}\)
Rút gọn Q
Đặt a - b = z ; b-c = x ; c - a = y
\(\Rightarrow\)x- y = a + b - 2c = -c - 2c = -3c ( do a + b + c = 0 )
y - z = -3a ; z - x = -3b
\(\Rightarrow\)\(-3Q=\frac{\left(y-z\right)}{x}+\frac{\left(z-x\right)}{y}+\frac{\left(x-y\right)}{z}\)
Làm tương tự như rút gọn P, ta có :
\(-3Q=\frac{\left(x-y\right)\left(z-y\right)\left(z-x\right)}{xyz}=\frac{-\left(-3a\right)\left(-3b\right)\left(-3c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{27abc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{-27abc}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)}\)
\(\Rightarrow Q=\frac{9abc}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)}\)
\(\Rightarrow PQ=9\)
Cho các số thực a, b, c \(\ne\) 0 và đồng thời thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c\ne0\\a^3+b^3+c^3=3abc\end{matrix}\right.\)
Tính giá trị của biểu thức: \(P=\left(2017+\frac{a}{b}\right)\left(2017+\frac{b}{c}\right)\left(2017+\frac{c}{a}\right)\)
Ta có \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
Mà \(a+b+c\ne0\)
=> \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Do \(VT\ge0\)
=> a=b=c
Thay vào ta được
P=2018^3
Đúng 0
Bình luận (0)
1) Với điều kiện nào của a và b thì ta có tỉ lệ thức frac{a}{b}frac{a+c}{b+c}với c ne02) Cho các số a,b,c,d ne0, thỏa mãn b^2ac; c^2bc; b^3+c^3+d^3ne0 Chứng minh: frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}frac{a}{d}
Đọc tiếp
1) Với điều kiện nào của a và b thì ta có tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+c}\)với c \(\ne\)0
2) Cho các số a,b,c,d \(\ne\)0, thỏa mãn \(b^2=ac\); \(c^2=bc\); \(b^3+c^3+d^3\)\(\ne0\)
Chứng minh: \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)
Cho 4 số a; b; c; d \(\ne\) 0 thỏa mãn:
\(b^2=a.c\) ; \(c^2=b.d\) ; \(b^3+c^3+d^3\ne0\)
chứng minh rằng: \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\).
Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn \(a^3+b^3+c^3=3abc\)và \(abc\ne0\). Tính:
\(P=\frac{ab^2}{a^2+b^2-c^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2-b^2}\)
cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: a=8-b; c2=ab - 16. Tính giá trị của a+c.
cho \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}\left(a\ne\pm b;a\ne-c;b\ne-c\right)\) Tính \(M=\frac{c}{a+b}\)
Tính giá trị biểu thức \(P=\frac{x^5-3x^3-10x+12}{x^4+7x^2+15}\)
Biết x thỏa mãn \(\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{1}{4}\)
Cho ba số a,b,c với \(a\ne0,\)\(a\ne c\)thỏa mãn:
\(a^2+ab+\frac{b^2}{3}=25;\) \(c^2+\frac{b^2}{3}=9;\) \(a^2+ac+c^2=16.\)
CMR: \(\frac{2c}{a}=\frac{b+c}{a+c}.\)
cho biết \(a^2+ab+\frac{b^2}{3}=25;c^2+\frac{b^2}{3}=9;a^2+ac+c^2=16\)và \(a\ne0;c\ne0;a\ne-c\)
CMR \(\frac{2c}{a}=\frac{b+c}{a+c}\)
\(\Leftrightarrow a^2+ab+\frac{b^2}{3}=c^2+\frac{b^2}{3}+a^2+ac+c^2\)
\(\Leftrightarrow ab=2c^2+ca\Leftrightarrow ab+ac=2c^2+2ac\)
\(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)=2c\left(a+c\right)\Rightarrow\frac{2c}{a}=\frac{b+c}{a+c}\rightarrowđpcm\)
Đúng 0
Bình luận (0)