\(M=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}=\frac{a^2}{b-1}+4\left(b-1\right)+\frac{b^2}{a^2-1}+4\left(a-1\right)-4a-4b+8\)

\(\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b-1}\cdot4\left(b-1\right)}+2\sqrt{\frac{b^2}{a-1}\cdot4\left(a-1\right)}-4a-4b+8=4a+4b-4a-4b+8=8\) (AM-GM)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=2

\(A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)

\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=6\)

\("="\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

\(S=\left(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{8a}+\frac{1}{8b}+\frac{1}{8c}+\frac{1}{8a}+\frac{1}{8b}+\frac{1}{8c}\right)+\frac{3}{4a}+\frac{3}{4b}+\frac{3}{4c}\)

\(\ge9\sqrt[9]{a^2b^2c^2.\frac{1}{8a}.\frac{1}{8b}.\frac{1}{8c}.\frac{1}{8a}.\frac{1}{8b}.\frac{1}{8c}}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\ge\frac{9}{4}+9.\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{9}{4}+\frac{9}{4}.\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}}\ge\frac{9}{4}+\frac{9}{4}.2=\frac{27}{4}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

Vậy \(Min_S=\frac{27}{4}\)

Theo em nghĩ bài này ko thiếu điều kiện đâu cô quản lí ạ !!!

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(ab+1\right)^2\le\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(a^2+1=a.a.1+1\le\frac{a^3+a^3+1}{3}+1=\frac{2.\left(a^3+2\right)}{3}\)

\(b^2+1=b.b.1+1\le\frac{b^3+b^3+1}{3}+1=\frac{2.\left(b^3+2\right)}{3}\)

Do đó:

\(\left(ab+1\right)^2\le\frac{4}{9}\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)\)

\(\Rightarrow ab+1\le\frac{2}{3}\sqrt{\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3}{2}.\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}\) \(\left(1\right)\)

Tương tự, ta có:

\(\frac{b^3+2}{bc+1}\ge\frac{3}{2}.\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}\) \(\left(2\right)\)

\(\frac{c^3+2}{ca+1}\ge\frac{3}{2}.\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng theo vế của \(\left(1\right)\), \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) và áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(G\ge\frac{3}{2}\left(\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}+\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}+\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\right)\) \(\ge\frac{3}{2}.3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}.\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}.\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}}=\frac{9}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Vậy: \(G_{min}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\) 

Nếu có thể thì cô Chi check xem nick Đinh Uyển Tình và Đông Phương Lạc có cùng địa chỉ máy tính không ạ??

Bạn Đông Phương Lạc tự đăng tự tl ko bt nhục à

@ Tuấn Lâm@ Hai bạn không cùng địa chỉ IP em nhé! Là bạn học tốt!

Cauchy Schwars 

\(M\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\Rightarrow M_{min}=9\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

\(M=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vay \(M_{min}=9\)

các bạn giải rõ ra đc k

S = a+b+c + (1/a + 1/b + 1/c)

   >= (a+b+c) + 9/a+b+c

    = [ (a+b+c) + 9/4.(a+b+c) ] + 27/4.(a+b+c)

   >= \(2\sqrt{\left(a+b+c\right).\frac{9}{4.\left(a+b+c\right)}}\)   +    27/(4.3/2)

     = 3 + 9/2

     = 15/2

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1/2

Vậy ......

Tk mk nha

bài này còn có thể theo phương pháp chọn điểm rơi trong bài toán cực trị, bạn thử tìm hiểu nhé!!!!

By Titu's Lemma we easy have:

\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{17}{4}\)

Mk xin b2 nha!

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

1) có \(2y\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{xy}+\frac{1}{4\sqrt{xy}}\right)^2+\frac{15}{16xy}+\frac{1}{2}\ge\frac{15}{16}\cdot4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)

B1 

Ta có

\(A=\frac{a^2}{24}+\frac{9}{a}+\frac{9}{a}+\frac{23a^2}{24}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{24}.\frac{9}{a}.\frac{9}{a}+\frac{23a^2}{24}}\ge\frac{9}{2}+\frac{23.36}{24}\ge39\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=6

Vậy Min A = 39 <=> a=6

 \(A=a^2+\frac{18}{a}=a^2+\frac{216}{a}+\frac{216}{a}-\frac{414}{a}\ge3\sqrt[3]{a^2.\frac{216}{a}.\frac{216}{a}}-69=39\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 6

B3: Áp dụng bđt AM-GM

\(A=\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{3\left(a+b\right)}{4\sqrt{ab}}\ge2\sqrt{\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}.\frac{\sqrt{ab}}{a+b}}+\frac{3\left(a+b\right)}{4\left(\frac{a+b}{2}\right)}\)

\(=1+\frac{3\left(a+b\right)}{2\left(a+b\right)}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b>0\)