1. Cho \(f\left(x\right)=x^{2n}-x^{2n-1}+x^{2n-2}-...+x^2-x+1\)
\(g\left(x\right)=1-x+x^2-...+x^{2n-2}-x^{2n-1}+x^{2n}\)
Tính giá trị của đa thức h(x) tại x=2012, biết \(h\left(x\right)=\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right).\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)\)
2. Xác định các đa thức sau:
a) Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b với \(a\ne0\), biết f(-1) = 1 và f(1) = -1
b) Tam thức bậc hai \(g\left(x\right)=ax^2+bx+c\) với \(a\ne0\), biết g(-2) = 9, g(-1) = 2, g(1)=6
3. a) Đa thức f(x) = ax + b \(\left(a\ne0\right)\). Biết f(0) = 0. Chứng minh f(x) = -f(-x) với mọi x
b) Đa thức f(x) = ax2 + bx + c \(\left(a\ne0\right)\). Biết f(1) = f(-1). Chứng minh f(x) = f(-x) với mọi x.
Cho đa thức \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) \(\left(a\ne0\right)\). Tìm a, b, c biết \(f\left(x\right)-2020\)chia hết cho x - 1, \(f\left(x\right)+2021\) chia hết cho x + 1 và \(f\left(x\right)\) nhận giá trị bằng 2 khi x = 0
Mình có nghĩ ra cách này mọi người xem giúp mình với
f(x) = \(ax^2+bx+c\)
Ta có f(0) = 2 => c = 2
Ta đặt Q(x) = \(ax^2+bx+c-2020\)
và G(x) = \(ax^2+bx+c+2021\)
f(x) - 2020 chia cho x - 1 hay Q(x) chia cho x - 1 được số dư
\(R_1\) = Q(1) = \(a.1^2+b.1+c-2020=a+b+c-2020\)
Mà Q(x) chia hết cho x-1 nên \(R_1\) = 0
hay \(a+b+c-2020=0\). Mà c = 2 => a + b = 2018 (1)
G(x) chia cho x + 1 số dư
\(R_2\) = G(-1) = \(a.\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c+2021=a-b+2+2021\)
Mà G(x) chia hết cho x + 1 nên \(R_2\)=0
hay \(a-b+2+2021=0\) => \(a-b=-2023\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2018\\a-b=-2023\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{5}{2}\\b=\dfrac{4041}{2}\end{matrix}\right.\)
\(f\left(0\right)=2\Rightarrow c=2\)
\(f\left(x\right)-2020\) chia hết \(x-1\Rightarrow f\left(1\right)-2020=0\)
\(\Rightarrow a+b+c-2020=0\Rightarrow a+b-2018=0\)
\(f\left(x\right)+2021\) chia hết \(x+1\Rightarrow f\left(-1\right)+2021=0\)
\(\Rightarrow a-b+c+2021=0\Rightarrow a-b+2023=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2018\\a-b=-2023\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{5}{2}\\b=\dfrac{4041}{2}\end{matrix}\right.\)
Cho đa thức f(x) và 2 số \(a\ne b\). Biết \(f\left(x\right):x-a\) dư \(r_1\); \(f\left(x\right):x-b\) dư \(r_2\). Tìm dư f(x) chia cho \(\left(x-a\right).\left(x-b\right)\)
\(f\left(x\right):\left(x-a\right)\) dư r1
\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x-a\right)\cdot a\left(x\right)+r_1\\ \Leftrightarrow f\left(a\right)=r_1\)
Vì \(\left(x-a\right)\left(x-b\right)\) là đa thức bậc 2 nên có dư bậc 1
Gọi dư của \(f\left(x\right):\left(x-a\right)\left(x-b\right)\) là \(cx+d\)
\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\cdot c\left(x\right)+cx+d\\ \Leftrightarrow f\left(a\right)=ac+d=r_1\left(1\right)\\ f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\cdot c\left(x\right)+cx+d\\ =\left(x-a\right)\left(x-b\right)\cdot c\left(x\right)+c\left(x-b\right)+bc+d\\ =\left(x-b\right)\left[\left(x-a\right)\cdot c\left(x\right)+c\right]+bc+d\)
Vì \(f\left(x\right):\left(x-b\right)\) dư r2 nên \(bc+d=r_2\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}bc+d=r_2\\ac+d=r_1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c\left(a-b\right)=r_1-r_2\\ac+d=r_1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\dfrac{r_1-r_2}{a-b}\\d=r_1-\dfrac{a\left(r_1-r_2\right)}{a-b}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\dfrac{r_1-r_2}{a-b}\\d=\dfrac{ar_2-br_1}{a-b}\end{matrix}\right.\)
Vậy đa thức dư là \(\dfrac{r_1-r_2}{a-b}x+\dfrac{ar_2-br_1}{a-b}\)
cho đa thức \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
a) xác định hệ số a,b,c biết \(f\left(0\right)=1;f\left(1\right)=0;f\left(-1\right)=10\)
b) tìm nghiệm của đa thức vừa xác định
Ta có: f(0)=1
<=> ax2 +bx+c=1
<=> c=1
f(1)=0
<=>ax2 +bx+c=0
<=> a+b+c=0
mà c=1
=>a+b=-1(1)
f(-1)=10
<=> ax2 +bx +c=10
<=>a-b+c=10
mà c=1
=>a-b=9(2)
Lấy (1) trừ (2) ta được (a+b)-(a-b)=-1-9
<=> 2b=-10
<=> b=-5
=>a=4
Vậy a=4,b=-5,c=1
a)Tìm các số a,b biết đa thức \(f\left(x\right)=ax+b\)
và \(f\left(1\right)=1;f\left(x\right)=4\)
b)Chứng tỏ rằng đa thức f(x) có ít nhất 2 nghiệm biết :
x . f(x+1) = (x+3).f(x)
a:
Sửa đề: f(2)=4
Theo đề, ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\2a+b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-2\end{matrix}\right.\)
Cho đa thức:\(_{f\left(x\right)=a\times x^2+b\times x+c}\)
Biết \(f\left(-2\right)+f\left(3\right)=0\) Tìm a
Giúp mình với mình cần gấp! Tối nay mình học rồi!!! Cảm ơn các bạn nhiều!!!
cho đa thức f(x) xác định với mọi x thoả mãn:
\(x\times f\left(x+2\right)=\left(x^2-9\right)\times f\left(x\right)\)
1) tính f(5)
2) chứng minh rằng f(x) có ít nhất 3 nghiệm
1) Thay x=3 vào đẳng thức, thu được:
\(3\times f\left(3+2\right)=\left(3^2-9\right)\times f\left(3\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(3\times f\left(5\right)=0\times f\left(3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(f\left(5\right)=0\)
2) Ta đã chứng minh x=5 là nhiệm của f(x)\(\Rightarrow\)Cần chứng minh f(x) có 2 nghiệm nữa
Thay x=0 Vào đẳng thức, thu được\(0\times f\left(0+2\right)=\left(0^2-9\right)\times f\left(0\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(f\left(0\right)=0\)
\(\Rightarrow\)x=0 là ngiệm của f(x)
Thay x=-3 và đẳng thức, thu được\(-3\times f\left(-3+2\right)=\left(\left(-3\right)^2-9\right)\times f\left(-3\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(-3\times f\left(-1\right)=0\times f\left(-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(f\left(-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\)x=-1 là nghiệm của f(x)
Vậy f(x) có ít nhất 3 nghiệm là x=5; x=0; x=-1
Cho 2 đa thức \(f\left(x\right)=2x^2+ax+4\) và \(g\left(x\right)=x^2-5x-b\) (\(a,b\) là hằng số)
Tìm các hệ số \(a,b\) sao cho \(f\left(1\right)=g\left(2\right)\) và \(f\left(-1\right)=g\left(5\right)\)
Ta có \(f\left(1\right)=g\left(2\right)\)
hay \(2.1^2+a.1+4=2^2-5.2-b\)
\(2+a+4\) \(=4-10-b\)
\(6+a\) \(=-6-b\)
\(a+b\) \(=-6-6\)
\(a+b\) \(=-12\) \(\left(1\right)\)
Lại có \(f\left(-1\right)=g\left(5\right)\)
hay \(2.\left(-1\right)^2+a.\left(-1\right)+4=5^2-5.5-b\)
\(2-a+4\) \(=25-25-b\)
\(6-a\) \(=-b\)
\(-a+b\) \(=-6\)
\(b-a\) \(=-6\)
\(b\) \(=-b+a\) \(\left(2\right)\)
Thay \(\left(2\right)\) vào \(\left(1\right)\) ta được:
\(a+\left(-6+a\right)=-12\)
\(a-6+a\) \(=-12\)
\(a+a\) \(=-12+6\)
\(2a\) \(=-6\)
\(a\) \(=-6:2\)
\(a\) \(=-3\)
Mà \(a=-3\)
⇒ \(b=-6+\left(-3\right)=-9\)
Vậy \(a=3\) và \(b=-9\)
Cái Vậy \(a=3\) và \(b=-9\) bạn ghi là \(a=-3\) và \(b=-9\) nha mk quên ghi dấu " \(-\) "
Cho đa thức \(f\left(x\right)=ax+b\) biết:\(f\left(1\right)=1;f\left(2\right)=4\)Khi đó:\(\left(a,b\right)=\left(...\right)\)
cho hai đa thức \(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\) và\(g\left(x\right)=x^3-ax^2+bx-3\)
tìm hệ số a,b biết rằng nghiệm của đa thức g(x) cũng là nghiệm của đa thức f(x)
\(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\x-3=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1\\x-3\end{cases}}\)
=> x = 1 và x = 3 là nghiệm của đa thức f(x)
Mà nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức g(x)
=> nghiệm của đa thức g(x) là x = { 1; 3 }
Với x = 1 thì \(g\left(x\right)=1^3-a.1^2+b.1-3=0\)
\(\Rightarrow-a+b=2\)(1)
Với x = 3 thì \(g\left(x\right)=3^3-a.3^2+3b-3=0\)
\(\Rightarrow3a-b=8\)(2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được : ( - a + b ) + (3a - b) = 10
=> 2a = 10 => a = 5
=> - 5 + b = 2 => b = 7
Vậy a = 5 ; b = 7
(x-1)(x-3)=0
=>x-1=0 hoặc x-3=0
=>x=1 hoặc x=3
Vậy nghiệm của f(x) là 1 và 3
Nghiệm của g(x) cũng là 1 và 3
Với x=1 ta có g(x)=1+a+b-3=0
=>a+b-2=0
a+b=2
Với x=3 ta có g(x)=27-9a+3b-3=0
=>24-9a+3b=0
=>8-3a+b=0
=>3a-b=8
a=\(\frac{8+b}{3}\)
Vậy với a+b=2 hoặc \(a=\frac{8+a}{3}\) thì nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của g(x)
Đặt \(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-3=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=1\\x=3\end{cases}}\)
Vậy 2 nghiệm của \(f\left(x\right)\) là 1 và 3.
Vì nghiệm của \(g\left(x\right)\) cũng là nghiệm của \(f\left(x\right)\) hay ngược lại, hay 1 và 3 vào \(g\left(x\right)\), ta được:
\(\hept{\begin{cases}g\left(1\right)=-2-a+b\\g\left(3\right)=24-9a+3b\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-a+b=2\\-9a+3b=-24\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}3\left(-a+b\right)=3.2\\-9a+3b=-24\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}-3a+3b=6\\-9a+3b=-24\end{cases}}}\Rightarrow\left(-3a+3b\right)-\left(-9a+3b\right)=6-\left(-24\right)\Leftrightarrow-3a+3b+9a-3b=6+24\Leftrightarrow6a=30\Leftrightarrow a=5\Rightarrow-5+b=2\Leftrightarrow b=2+5=7\)
Vậy a=5 và b=7
