Bài 2:

a: Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>AH=12/5=2,4(cm)

c: ΔAHC vuông tại H

=>\(AH^2+HC^2=AC^2\)

=>\(HC^2=4^2-2,4^2=10,24\)

=>HC=3,2(cm)

ΔAHC vuông tại H

=>\(S_{HAC}=\dfrac{1}{2}\cdot HA\cdot HC=\dfrac{1}{2}\cdot3,2\cdot2,4=1,2\cdot3,2=3,84\left(cm^2\right)\)

Bài 1:

a: Để (1) là hàm số bậc nhất thì m-3<>0

=>m<>3

b: Sửa đề: y=-2x+3

Để (1)//y=-2x+3 thì \(\left\{{}\begin{matrix}m-3=-2\\2m< >3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m=1\\m< >\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

=>m=1

c: Khi m=1 thì (d): \(y=\left(1-3\right)x+2\cdot1=-2x+2\)

a) Vì hàm số y=ax+b song song với y=2x-3 nên a=2

Vậy: y=2x+b

Thay x=1 và y=-2 vào y=2x+b, ta được:

\(2\cdot1+b=-2\)

hay b=-4

Vậy: y=2x-4

b) Vì y=ax+b đi qua A(1;-2) và B(2;3) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-2\\2a+b=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-a=-5\\a+b=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b+5=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b=-7\end{matrix}\right.\)

Vậy: y=5x-7

Lời giải:

Ta có: \(y=x^4-2(m+1)x^2+2m+1\)

\(\Leftrightarrow y=(x^4-1)-2(m+1)x^2+2(m+1)\)

\(y=(x^2-1)(x^2-2m-1)\)

Xét PT \(y=0\) ta thấy pt đã có nghiệm \(x=\pm 1\). Do đó để đths cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì pt \(x^2-2m-1=0\) phải có thêm 2 nghiệm khác $\pm 1$ nữa

Do đó: \(\left\{\begin{matrix} 2m+1>0\\ (\pm 1)^2-2m-1\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>\frac{-1}{2}\\ m\neq 0\end{matrix}\right.\)

Ta xét 2 TH sau:

TH1: \(2m+1>1\Rightarrow \sqrt{2m+1}>1;-\sqrt{2m+1}< -1\)

Hoành độ 4 điểm A,B,C,D theo thứ tự lần lượt là:
\(-\sqrt{2m+1};-1;1;\sqrt{2m+1}\)

Ta có: \(AB=BC\Leftrightarrow |-\sqrt{2m+1}+1|=|-1-1|=2\)

Từ đây dễ dàng tìm được \(m=4\) (thỏa mãn)

TH2: \(0\leq 2m+1< 1\Rightarrow \sqrt{2m+1}< 1;-\sqrt{2m+1}> -1\)

Hoành độ 4 điểm A,B,C,D theo thứ tự lần lượt là:

\(-1;-\sqrt{2m+1};\sqrt{2m+1};1\)

Ta có \(AB=BC\Leftrightarrow |-1+\sqrt{2m+1}=|-\sqrt{2m+1}-\sqrt{2m+1}|=2\sqrt{2m+1}\)

Từ đây ta dễ dàng tìm được \(m=\frac{-4}{9}\) (thỏa mãn)

Bài 2:

Ta có:

\(y=x^4-(2m+1)x^2+2m=(x^4-x^2)-2mx^2+2m\)

\(\Leftrightarrow y=(x^2-1)(x^2-2m)=(x-1)(x+1)(x^2-2m)\)

Để đths cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì pt \(y=0\) phải có 4 nghiệm phân biệt

Thấy hiển nhiên phương trình có nghiệm \(x=\pm 1< 2\), vậy nên ta cần có \(x^2-2m=0\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác \(\pm 1\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2m>0\\ (\pm 1)^2-2m\neq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow m>0;m\neq \frac{1}{2}\)

Khi đó hai nghiệm của pt là: \(\pm \sqrt{2m}\) trong đó \(-\sqrt{2m}\) hiển nhiên nhỏ hơn 2, ta chỉ cần \(\sqrt{2m}<2 \Leftrightarrow m< 2\)

Vậy \(0< m< 2; m\neq \frac{1}{2}\)

\(y=mx^3-2m^2x^2-2x^2+2m^2-m\)

\(\Leftrightarrow2m^2\left(1-x^2\right)+m\left(x^3-1\right)-2x^2-y=0\)

Gọi \(\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}1-x+0^2=0\\x_0^3-1=0\\-2x_0^2-y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=1\\y_0=-2\end{matrix}\right.\)

Ta có \(A=\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)=\left(xy\right)^2+2x^2+2y^2+4\)

\(=\left(xy\right)^2+2\left(x+y\right)^2-4xy+4\)\(=\left(2m+1\right)^2+2\left(m-2\right)^2-4\left(2m+1\right)+4\)

\(=4m^2+4m+1+2m^2-8m+8-8m-4+4\)

\(=6m^2-12m+9=6\left(m^2-2m+1\right)+3\)

Ta thấy \(6\left(m-1\right)^2\ge0\Rightarrow6\left(m-1\right)^2+3\ge3\Rightarrow A\ge3\)

Vậy Min A=3 khi m-1=0 hay m=1