Lời giải:
Ta có: \(y=x^4-2(m+1)x^2+2m+1\)
\(\Leftrightarrow y=(x^4-1)-2(m+1)x^2+2(m+1)\)
\(y=(x^2-1)(x^2-2m-1)\)
Xét PT \(y=0\) ta thấy pt đã có nghiệm \(x=\pm 1\). Do đó để đths cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì pt \(x^2-2m-1=0\) phải có thêm 2 nghiệm khác $\pm 1$ nữa
Do đó: \(\left\{\begin{matrix} 2m+1>0\\ (\pm 1)^2-2m-1\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>\frac{-1}{2}\\ m\neq 0\end{matrix}\right.\)
Ta xét 2 TH sau:
TH1: \(2m+1>1\Rightarrow \sqrt{2m+1}>1;-\sqrt{2m+1}< -1\)
Hoành độ 4 điểm A,B,C,D theo thứ tự lần lượt là:
\(-\sqrt{2m+1};-1;1;\sqrt{2m+1}\)
Ta có: \(AB=BC\Leftrightarrow |-\sqrt{2m+1}+1|=|-1-1|=2\)
Từ đây dễ dàng tìm được \(m=4\) (thỏa mãn)
TH2: \(0\leq 2m+1< 1\Rightarrow \sqrt{2m+1}< 1;-\sqrt{2m+1}> -1\)
Hoành độ 4 điểm A,B,C,D theo thứ tự lần lượt là:
\(-1;-\sqrt{2m+1};\sqrt{2m+1};1\)
Ta có \(AB=BC\Leftrightarrow |-1+\sqrt{2m+1}=|-\sqrt{2m+1}-\sqrt{2m+1}|=2\sqrt{2m+1}\)
Từ đây ta dễ dàng tìm được \(m=\frac{-4}{9}\) (thỏa mãn)
Bài 2:
Ta có:
\(y=x^4-(2m+1)x^2+2m=(x^4-x^2)-2mx^2+2m\)
\(\Leftrightarrow y=(x^2-1)(x^2-2m)=(x-1)(x+1)(x^2-2m)\)
Để đths cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì pt \(y=0\) phải có 4 nghiệm phân biệt
Thấy hiển nhiên phương trình có nghiệm \(x=\pm 1< 2\), vậy nên ta cần có \(x^2-2m=0\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác \(\pm 1\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2m>0\\ (\pm 1)^2-2m\neq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow m>0;m\neq \frac{1}{2}\)
Khi đó hai nghiệm của pt là: \(\pm \sqrt{2m}\) trong đó \(-\sqrt{2m}\) hiển nhiên nhỏ hơn 2, ta chỉ cần \(\sqrt{2m}<2 \Leftrightarrow m< 2\)
Vậy \(0< m< 2; m\neq \frac{1}{2}\)
