Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hòa Phạm

Đại ca, Đại tỉ nào giúp muội muội này với... Làm hoài ko ra ( câu b ạ)

Cho hàm số \(y=x^3+mx^2-1\).

a) Chứng minh rằng hàm số trên luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m khác 0.

b) CMR đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương với mọi giá trị của m.

c)Tìm m để phương trình \(x^3+mx^2-1=0\) có ba nghiệm phân biệt.

Akai Haruma
21 tháng 2 2017 lúc 18:52

Giải:

a) Xét \(y'=3x^2+2mx\)

Ta thấy \(y'=3x^2+2mx=0\)\(\Delta'=m^2>0\forall m\neq 0\) nên luôn có hai nghiệm phân biệt, đồng nghĩa với hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi \(m\neq 0\)

b) Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương với mọi giá trị của $m$ nghĩa là phương trình \(x^3+mx^2-1=0\) luôn có nghiệm dương với mọi \(m\)

Xét hàm $y$ liên tục trên tập xác định.

Nếu \(m>0\)\(\left\{\begin{matrix} f(0)=-1<0\\ f(m+1)=(m+1)^3+m(m+1)^2-1>0\end{matrix}\right.\Rightarrow f(0).f(m+1)<0\)

Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng \((0;m+1)\), tức là nghiệm dương.

Nếu \(m<0\)\(\left\{\begin{matrix} f(0)=-1<0\\ f(1-m)=m^2-2m>0\forall m<0\end{matrix}\right.\Rightarrow f(0).f(1-m)<0\)

Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng \((0,1-m)\) , tức nghiệm dương

Từ hai TH ta có đpcm.

c) Để pt có $3$ nghiệm phân biệt thì \(y'=3x^2+2mx\) phải có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(f(x_1)f(x_2)<0\)

Kết hợp với định lý Viete:

\(\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3+m(x_1^2+x_2^2)-1>0\)

\(\Leftrightarrow 4m^3-27>0\Leftrightarrow m>\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\)


Các câu hỏi tương tự
Hà Mi
Xem chi tiết
Hà Mi
Xem chi tiết
Hà Mi
Xem chi tiết
Nguyễn Hải Vân
Xem chi tiết
Pham Tien Dat
Xem chi tiết
Hồng Thy
Xem chi tiết
Tôn Phương Trâm Trần
Xem chi tiết
Hà Mi
Xem chi tiết
Tiến Chất Nguyễn
Xem chi tiết