Đáp án D

 a) Tam giác ABM vuông tại A có đường cao AC nên \(BC.BM=BA^2\). CMTT, \(BD.BN=BA^2\) nên \(BC.BM=BD.BN\Leftrightarrow\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{BN}{BC}\). Từ đây dễ dàng suy ra \(\Delta BNM~\Delta BCD\left(c.g.c\right)\) (đpcm)

 b) Ta có OQ//BN, OP//BM, mà \(MB\perp NB\) nên suy ra \(OP\perp BN\), từ đó O là trực tâm tam giác BPN.\(\Rightarrow ON\perp BP\)

 Lại có \(QH\perp BP\) nên QH//ON.

Tam giác AON có Q là trung điểm AN, QH//ON nên H là trung điểm OA \(\Rightarrow AH=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{R}{2}\) không đổi.

Gọi MP, QP cắt AB tại K, L

Ta chứng minh được PQ vuông góc AB

\(\Delta\)AON đồng dạng \(\Delta\)APB suy ra \(AN=AM=\sqrt{OA^2+OM^2}=\frac{R\sqrt{5}}{2}\)

\(\frac{AO}{AP}=\frac{ON}{PB}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow\frac{R}{AP}=\frac{\frac{R}{2}}{PB}+\frac{\frac{R\sqrt{5}}{2}}{2R}=\frac{\sqrt{5}}{4}\Rightarrow AP=\frac{4R\sqrt{5}}{5};BP=\frac{2R\sqrt{5}}{5}\)

Ta có

\(BP^2=BL.AB\Rightarrow BL=\frac{BP^2}{AB}=\frac{2R}{5};OL=OB-BL=\frac{3R}{5};PL=\sqrt{BP^2-BL^2}=\frac{4R}{5}\)\(\frac{KL}{OK}=\frac{KP}{MK}=\frac{PL}{OM}=\frac{\frac{4R}{5}}{\frac{R}{2}}=\frac{8}{5}\Rightarrow\frac{KL}{8}=\frac{OK}{5}=\frac{OL}{13}=\frac{\frac{3R}{5}}{13}=\frac{3R}{65}\Rightarrow KL=\frac{24R}{65};OK=\frac{3R}{13}\)

\(MP=MK+KP=\sqrt{OM^2+OK^2}+\sqrt{KL^2+PL^2}=\frac{\sqrt{205}R}{10}\)

có \(MP=\frac{\sqrt{205}R}{10},AP=\frac{4R\sqrt{5}}{5};AM=\frac{R\sqrt{5}}{2}\)

\(AM^2+MP^2\ne AP^2\)nên MA không vuông góc MP

Sorry, vừa rồi mình nhầm O với giao điểm của AB với QN.

Mình sửa lại như sau: Gọi H là giao của QN và AB, F là giao của AB và QP. Từ P vẽ PK vuông góc với CD tại K. 

Giả sử AQ vuông góc với MP suy ra H là trực tâm tam giác AQP. Suy ra BH = 2 . BF.

Vì HN song song với BP và PK // AO ta có đẳng thức sau:

NK/NO = PK / AO = NP/NA = BH/HA

suy ra

(r-KD)/(r/2) = (r-BF)/r = 2BF/(2r-2BF)

ở đó r là bán kính đường tròn (O). Ngoài ra ta còn có BF.(2r-BF) = PF^2 = (r-KD)^2

Từ đó rút ra điều vô lý.

Nếu AM vuông góc với MP thì suy ra MO song song với QB.. Suy ra M là trung điểm của AQ. Suy ra CQ song song với AO. Suy ra góc QCD = 90 độ (vô lý). Suy ra AM không vuông góc với MP.

a, Học sinh tự chứng minh

b, Chứng minh: A F M ^ = C A F ^ ( = A C F ^ ) => MF//AC

c, Chứng minh:  M F N ^ = M N F ^ => ∆MNF cân tại M => MN = MF

Mặt khác: OD = OF = R

Ta có MF là tiếp tuyến nên DOFM vuông => ĐPCM

Đầu tiên, với điều kiện AC^2 = BC, ta có thể suy ra AC = BC. Do đó, tam giác ABC là tam giác cân tại A và B.

Tiếp theo, vì CD vuông góc AB, ta có thể suy ra tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác vuông.

Do DE là đường kính của đường tròn O, nên tam giác ADE và tam giác BDE là tam giác vuông tại D và E.

Vì tam giác ABC là tam giác cân, ta có thể suy ra tỉ số diện tích DCE và ABD bằng tỉ số diện tích tam giác DCE và tam giác ABD.

Tuy nhiên, để tính diện tích của các tam giác này, chúng ta cần biết thêm thông tin về kích thước của các đoạn thẳng và góc giữa chúng.

Vì vậy, để tìm tỉ số diện tích DCE và ABD, cần có thêm thông tin chi tiết về hình học của hình và các giá trị số cụ thể.

1: góc OMP=góc ONP=90 độ

=>OMNP nội tiếp