a) Ta có BM = CN và I là trung điểm của BC, K là trung điểm của MN. Vậy ta có BI = CK và IM = KN.

Do đó, ta có:
IK = IM + MK = KN + MK = KM

Vậy tam giác IKQ có hai cạnh bằng nhau là IK = KQ. Do đó, tam giác IKQ là tam giác cân.

b) Ta có BI = CK và IM = KN (vì I, K lần lượt là trung điểm của BC, MN).

Giả sử giao điểm của IK và AB là D, giao điểm của IK và AC là E.

Ta có:
BD = DC (vì I là trung điểm của BC)
IM = KN (vì K là trung điểm của MN)

Do đó, theo nguyên lý đồng dạng tam giác, ta có:
∠IDB = ∠EDC (cùng là góc nội tiếp cùng cung BD)
∠IMK = ∠KNQ (cùng là góc nội tiếp cùng cung MK)

Vậy ta có:
∠IDB = ∠EDC
∠IMK = ∠KNQ

Từ đó suy ra:
∠IDB + ∠IMK = ∠EDC + ∠KNQ

Nhưng ta cũng biết rằng:
∠IDB + ∠IMK = ∠BID
∠EDC + ∠KNQ = ∠CED

Vậy ∠BID = ∠CED, tức là góc tạo bởi IK và các đường thẳng AB, AC là bằng nhau.

a: Xét ΔABM và ΔACN có 
AB=AC

\(\widehat{BAM}\) chung

AM=AN

Do đó: ΔABM=ΔACN

Suy ra: BM=CN

b: Xét ΔNBC và ΔMCB có 

NB=MC

NC=MB

BC chung

Do đó: ΔNBC=ΔMCB

Suy ra: \(\widehat{GNB}=\widehat{GMC}\)

Xét ΔGNB và ΔGMC có 

\(\widehat{GNB}=\widehat{GMC}\)

NB=MC

\(\widehat{GBN}=\widehat{GCM}\)

Do đó: ΔGNB=ΔGMC

trong tam giác ABC có AB=AC nên tam giác ABC cân tại A suy ra góc B= góc C

ta có \(\widehat{NCB}=90^0-\widehat{B}\)

          \(\widehat{MBC}=90^0-\widehat{C}\)

mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\)nên \(\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\)

Xét tam giác BMC và tam giác BNC có

\(\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)

BC là cạnh chung 

Do đó tam giác BNC = tam giác CMB(g.c.g)

suy ra BM=CN ( 2 cạnh tương ứng)(đpcm)

ta có AB=AC nên tam giác ABC cân tại A => góc ABC =góc ACB 

xét 2 tam giác NCB và MBC ta có :

- BC chung

-góc BNC=gocsBMC=90 độ 

-góc ABC=ACB( chứng minh trên)

=> tam giác NCB=MBC(cạnh huyền góc nhọn)

Xét  \(\Delta ABC\) ta có :
AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) 

\(\Leftrightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}\) ( tính chất đường phân giác trong tam giác )
\(\Leftrightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{MB}{NC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{NC}\) 

Xét \(\Delta ABC\) có : \(\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{NC}\)

\(\Leftrightarrow MN//BC\) ( điịnh lí Ta - lét đảo )

Chúc bạn học tốt !!!