a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IA = IB = IC.

Do đó tam giác ABC vuông tại A.

Lại có \(IO_1\perp AB;IO_2\perp AC\) nên tam giác \(IO_1O_2\) vuông tại I.

b) Đầu tiên ta chứng minh kết quả sau: Cho hai đường tròn (D; R), (E; r) tiếp xúc với nhau tại A. Tiếp tuyến chung BC (B thuộc (D), C thuộc (E)). Khi đó \(BC=2\sqrt{Rr}\).

Thật vậy, kẻ EH vuông góc với BD tại H. Ta có \(DH=\left|R-r\right|;DE=R+r\) nên \(BC=EH=\sqrt{DE^2-DH^2}=2\sqrt{Rr}\).

Trở lại bài toán: Giả sử (O; R) tiếp xúc với BC tại M.

Theo kết quả trên ta có \(BM=2\sqrt{R_1R};CM=2\sqrt{RR_2};BC=2\sqrt{R_1R_2}\).

Do \(BM+CM=BC\Rightarrow\sqrt{R_1R}+\sqrt{R_2R}=\sqrt{R_1R_2}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{R}}=\dfrac{1}{\sqrt{R_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{R_2}}\).

P/s: Hình như bạn nhầm đề

a)AD tính chất 2 tiếp tuyến  cắt nhau

b)BC=2*căn(R1*R2)

Nối O1O2; O2O3; O1O3. Đây là các đường nối tâm của hai vòng tròn tiếp xúc nhau

=> O1; C; O3 thẳng hàng, O1; A; O2 thẳng hàng và O2; B; O3 thẳng hàng

Nối E với O3 và F với O3

Xét tam giác O1AC có O1A=O1C (bk đường tròn (O1)) => tg O1AC cân tại O1 => ^O1AC=^O1CA (1)

Xét tam giác O3CE có O3C=O3E (bk đường tròn (O3)) => tg O3CE cân tại O3 => ^O3CE=^O3EC (2)

Mà ^O1CA=^O3CE (góc đối đỉnh) (3)

Từ (1) (2) và (3) => ^O1AC=^O3EC => O1O2//O3E  (*)

Tương tự như thế ta cũng c/m được O1O2//O3F (**)

Từ (*) và (**) => E; F; O3 thảng hàng (Từ O3 chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // O1O2)

 Nhận thấy tứ giác MFNE có góc M và N vuông --> góc MFN+góc MEN= 2 vuông (*) 
Lại có các tam giác AFB và MEN đồng dạng (vì có góc NME=gocFAB và góc MNE =góc FBA), suy ra góc AFB=góc MEN --> góc MFN=góc MEN (**), từ (*); (**) suy ra góc MFN=góc MEN =1 vuông 
--> tứ giác MENF là hình chữ nhật, từ đó dễ dàng suy ra tiếp FE vuông góc với AB 
b) Gọi I ; K lần lượt là trung điểm của O1O2 và MN. Áp dụng Talét dễ dàng tính được IK=5 
--> KD^2=ID^2-IK^2 =9^2 -5^2 =56 --> CD=2.KD= 4√14

Dài lắm,