Xét ΔDAF và ΔEBD có

DA=EB

góc DAF=góc EBD(=120 độ)
AF=BD

=>ΔDAF=ΔEBD

=>DF=ED

Xét ΔFCE và ΔEBD có

FC=EB

góc FCE=góc EBD

CE=BD

=>ΔFCE=ΔEBD

=>FE=ED

=>FE=ED=DF

=>ΔDEF đều

a) Xét ΔABD vuông tại A và ΔABH vuông tại A có

DA=AH(gt)

AB là cạnh chung

Do đó: ΔABD=ΔABH(hai cạnh góc vuông)

⇒BD=BH(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔDBH có BD=BH(cmt)

nên ΔDBH cân tại B(định nghĩa tam giác cân)

b) Ta có: AC=2AD(D là trung điểm của AC)

hay AC=2*5=10cm

Ta có: AC=2AB(gt)

hay AB=102=5cmAB=102=5cm

Áp dụng định lí pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được

BC2=AB2+AC2BC2=AB2+AC2

hay BC2=52+102=125BC2=52+102=125

⇒BC=√125=5√5cmBC=125=55cm

Vậy: BC=5√5cm

Xét ΔBDE và ΔAFD có

BE=AD

góc EBD=góc DAF

AF=BD

=>ΔBDE=ΔAFD

=>DE=FD

Xét ΔBDE và ΔCEF có

BE=CF

góc DBE=góc ECF

BD=CE

=>ΔBDE=ΔCEF

=>DE=EF=FD

=>ΔDEF đều

\(\Delta\)ABC là \(\Delta\)đều => AB=BC=CA mà D,E,F là trung điểm của AB,BC,CA=>AD=DB=BF=CF=CE=EA

xét \(\Delta\)ADE và \(\Delta\)BFD có:

AD=BF(cmt)

góc A=góc B(\(\Delta\)ABC là \(\Delta\)đều)

AE=BD(cmt)

=> \(\Delta\)ADE = \(\Delta\)BFD(c.g.c)(1)

xét \(\Delta\)BFD và\(\Delta\)CEF có:

BD=CE(cmt)

góc B=góc C(\(\Delta\)ABC là \(\Delta\)đều)

BF=CF(cmt)

=> \(\Delta\)ADE = \(\Delta\)BFD(c.g.c)(2)

từ(1) và(2)=> \(\Delta\)ADE = \(\Delta\)BFD= \(\Delta\)BFD=>DE=DF=FE=>\(\Delta\)DEF là \(\Delta\)đều

Xét ΔABC có 

D là trung điểm của AB(gt)

F là trung điểm của BC(gt)

Do đó: DF là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: DF//AC và \(DF=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét ΔABC có

F là trung điểm của BC(gt)

E là trung điểm của AC(gt)

Do đó: FE là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)Suy ra: FE//AB và \(FE=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

Xét ΔABC có 

D là trung điểm của AB(gt)

E là trung điểm của AC(gt)

Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: DE//BC và \(DE=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(3)

Ta có: ΔABC đều(gt)

nên AB=AC=BC(4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra DE=EF=DF

Xét ΔDEF có DE=DF=EF(cmt)

nên ΔDEF đều(Định nghĩa tam giác đều)

gọi I, K là trung điểm của AB, Ac. cm cho AKDI là hình bình hành. ta có tam giác EID=KDF=AEF(c.g.c)=>EF=ED=DF=> tam giác DEF đều