Cho dãy số: \(U_n=\dfrac{\left(5+\sqrt{7}\right)^n-\left(5-\sqrt{7}\right)^n}{2\sqrt{7}}\)
Với n = 1;2;3;.....
CMCT: \(U_{n+2}=10U_n-18U_{n+1}\)
Cho dãy số:
\(U_n=\frac{\left(7+2\sqrt{5}\right)^n-\left(7-2\sqrt{5}\right)^n}{4\sqrt{5}};n\in N;n\ge1\)
CMR: Un+2=14Un+1-29Un
Xét tính tăng , giảm của các dãy số \(\left(u_n\right)\) biết :
\(a,u_n=\dfrac{\left(-1\right)^n}{n+2}\)
\(b,u_n=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\)
Xét tính tăng , giảm của các dãy số \(\left(u_n\right)\) biết :
\(a,u_n=\dfrac{\left(-1\right)^n}{n+2}\)
\(b,u_n=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\)
cho dãy số(un) được xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{n+1}{n}}\left(u_n+3\right)-3\end{matrix}\right.\) ,n=1,2,...Tìm công thức tổng quát của dãy số (un) và tính \(\lim\limits\dfrac{u_n}{\sqrt{n}}\) .
\(u_2=\sqrt{2}\left(2+3\right)-3=5\sqrt{2}-3\)
\(u_3=\sqrt{\dfrac{3}{2}}.5\sqrt{2}-3=5\sqrt{3}-3\)
\(u_4=\sqrt{\dfrac{4}{3}}.5\sqrt{3}-3=5\sqrt{4}-3\)
....
\(\Rightarrow u_n=5\sqrt{n}-3\)
\(\Rightarrow\lim\limits\dfrac{u_n}{\sqrt{n}}=\lim\limits\dfrac{5\sqrt{n}-3}{\sqrt{n}}=5\)
Xét tính tăng , giảm của các dãy số \(\left(u_n\right)\) biết :
\(a,u_n=\dfrac{\sqrt{n+11}}{n}\)
\(b,u_n=\dfrac{4^n-1}{4^n+5}\)
Xét tính tăng , giảm của các dãy số \(\left(u_n\right)\) biết :
\(a,u_n=\dfrac{\sqrt{n+11}}{n}\)
\(b,u_n=\dfrac{4^n-1}{4^n+5}\)
Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) \(u_n=\left(-1\right)^n.cos\left(\dfrac{\pi}{2n}\right)\)
b) \(t_n=\dfrac{\sqrt{2}}{5^n}\)
a:
\(0< =cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)< =1;n\in Z^+\)
Khi n chẵn thì \(\left(-1\right)^n=1\)
=>\(u_n=cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)\)
=>\(0< =u_n< =1\)
=>\(\left(u_n\right)\) bị chặn ở khoảng [0;1]
Khi n lẻ thì \(\left(-1\right)^n=-1\)
=>\(u_n=-cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)\)
\(0< =cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)< =1\)
=>\(0>=-cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)>=-1\)
=>\(0>=u_n>=-1\)
=>\(\left(u_n\right)\) bị chặn ở khoảng [-1;0]
b: \(-1< =\dfrac{1}{5^n}< =0\)
=>\(-\sqrt{2}< =\dfrac{\sqrt{2}}{5^n}< =0\)
=>\(-\sqrt{2}< =t_n< =0\)
Vậy: Dãy số bị chặn ở khoảng \(\left[-\sqrt{2};0\right]\)
Tính giới hạn của dãy số:
\(u_n=\dfrac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\)
Một câu thôi: Liên hợp
\(\dfrac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\dfrac{2.1-\sqrt{2}}{2^2-2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{9.2-4.3}=\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Nên chứng minh bằng quy nạp mạnh cho chặt chẽ, giờ tui buồn ngủ quá nên bạn tự chứng minh nha :(
\(\Rightarrow u_n=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}}\Rightarrow\lim\limits\left(u_n\right)=\lim\limits\dfrac{\sqrt{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{\sqrt{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}}=1\)
Cho dãy số \(U_n=\left(1+\sqrt{2}\right)^n+\left(1-\sqrt{2}\right)^n+1\), với \(n\) là số nguyên dương. Tìm công thức tổng quát tính \(U_{n+1}\) theo \(U_n\) và \(U_{n-1}\) với \(n\ge2\).
Ta tính một vài giá trị đầu của Un:
\(U_1=3;U_2=7;U_3=15;U_4=35;U_5=83\)
Đặt \(U_{n+1}=aU_n+bU_{n-1}+c\) (*)
Khi đó thay lần lượt \(n=2,n=3,n=4\) vào (*), ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}15=7a+3b+c\\35=15a+7b+c\\83=35a+15b+c\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\\c=-2\end{matrix}\right.\)
Do đó \(U_{n+1}=2U_n+U_{n-1}-2\)