Đặt \(x^2+y^2=a;xy=b\) \(\Rightarrow a-b=1\Leftrightarrow b=a-1\)

Từ giả thiết:\(x^2+y^2-xy=1\Leftrightarrow x^2+y^2+\left(x-y\right)^2=2\ge x^2+y^2\)

Và \(2x^2+2y^2=2xy+2\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2\right)=\left(x+y\right)^2+2\ge2\)\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{2}{3}\)

Suy ra:\(\frac{2}{3}\le a\le2\)

Ta có:\(x^4+y^4-x^2y^2=\left(x^2+y^2\right)^2-3x^2y^2=a^2-3b^2=-2a^2+6a-3\)

Đến đây vẽ bảng biến thiên ra :)) 

ta có : x1<x2 suy ra 3x1<3x2 suy ra f(x1)<f(x2)

Suy ra y=f(x)=3x đồng biến trên R

`Answer:`

\(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+ax}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\left(1\right)\)

Theo đề ra, có: \(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}\)

\(\Rightarrow\frac{xyz}{ayz+bxz}=\frac{xyz}{bxz+cxy}=\frac{xyz}{cxy+ayz}\)

\(\Rightarrow ayz+bxz=bxz+cxy=cxy+ayz\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ayz+bxz=bxz+cxy\\ayz+bxz=cxy+ayz\\bxz+cxy=cxy+ayz\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ayz=cxy\\bxz=cxy\\bxz=ayz\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}az=cx\\bz=cy\\bx=ay\end{cases}}\left(2\right)\)

Thế (2) và (1): \(\frac{xy}{2ay}=\frac{yz}{2bz}=\frac{xz}{2cx}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{2a}=\frac{y}{2b}=\frac{z}{2c}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\left(3\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{4a^2}=\frac{y^2}{4b^2}=\frac{z^2}{4c^2}=\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{4a^2+4b^2+4c^2}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{1}{4}\)

Thế (3) vào (2): \(\frac{x}{2a}=\frac{y}{2b}=\frac{z}{2c}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{a}{2}\\y=\frac{b}{2}\\z=\frac{c}{2}\end{cases}}\)

a. Đề bài em ghi sai thì phải

Vì:

\(x+y=2\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3-2\sqrt{x-3}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}+1\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-1\right)^2+4=0\) (vô lý)

b.

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)

Hàm đã cho là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R

Hàm bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm

\(f\left(-2\right)=-8+4a-2b+c>0\)

\(f\left(2\right)=8+4a+2b+c< 0\)

\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2;2)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=x^3\left(1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty.\left(1+0+0+0\right)=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực dương n đủ lớn sao cho \(f\left(n\right)>0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(2;n\right)\) hay \(\left(2;+\infty\right)\)

Tương tự \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(m\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn  có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-2\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 3 nghiệm pb \(\Rightarrow\) hàm cắt Ox tại 3 điểm pb