Link

bạn tham khảo link đó nhé

\(A=\left(\frac{2xy}{x^2+y^2}\right)^2+\frac{x^4+y^4+2\left(xy\right)^2}{\left(xy\right)^2}-2=4\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)^2+\left(\frac{x^2+y^2}{xy}\right)^2-2\)

\(=\left(\frac{2xy}{x^2+y^2}\right)^2+\left(\frac{x^2+y^2}{2xy}\right)^2+3\left(\frac{x^2+y^2}{2xy}\right)^2-2\)

\(\ge2\sqrt{\left(\frac{2xy}{x^2+y^2}\right)^2.\left(\frac{x^2+y^2}{2xy}\right)^2}+3\left(\frac{2xy}{2xy}\right)^2-2=3\)

A-2=\(\left(\sqrt{x-y}-\sqrt{\frac{2}{x-y}}\right)^2+2\sqrt{2}\)

A>=2\(\left(1+\sqrt{2}\right)\)

dang thuc xay ra khi

x-y=\(\sqrt{2}\)

chua hieu nhan tin 

lon.

bo (A-2)

A>=2\(\sqrt{2}\)

Đặt \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\). Vì x; y > 0 => \(\frac{x}{y}>0;\frac{y}{x}>0\). Áp dung BDT Cô - si có:

\(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2.\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)

Có: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}=t^2-2\)

\(\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}=\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)^2-2.\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{x^2}=\left(t^2-2\right)^2-2=t^4-4t^2+4-2=t^4-4t^2+2\)

Vậy \(A=t^4-4t^2+2-\left(t^2-2\right)+t=t^4-5t^2+t+4\)

=> \(A=\left(t^4-8t^2+16\right)+3t^2+t-12=\left(t^2-4\right)^2+3t^2+t-12=\left(t^2-4\right)^2+3\left(t^2-4\right)+t\ge2\)với mọi \(t\ge2\)

Vì \(t\ge2\) => \(t^2\ge4\Rightarrow t^2-4\ge0\)

Vậy Min A = 2 khi t = 2 <=> \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2\) <=> x = y = 1

Điểm rơi: \(x=y=\frac{1}{2}.\)

\(A=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{5}{4xy}\)

\(\ge\frac{1}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)

\(=\frac{1}{\left(x+y\right)^2}+2+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\ge2+\frac{6}{1^2}=8\)

Ta có:

\(P=\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\frac{\left(a+b\right)^2}{1}=\left(a+b\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\\x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow...\) (tự tìm nha! Mình đang bận)

Vậy...

tại sao 

\(\frac{a^2}{x^2}\)+\(\frac{b^2}{y^2}\)\(\ge\)\(\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)

By Titu's Lemma we easy have:

\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{17}{4}\)

Mk xin b2 nha!

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

1) có \(2y\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{xy}+\frac{1}{4\sqrt{xy}}\right)^2+\frac{15}{16xy}+\frac{1}{2}\ge\frac{15}{16}\cdot4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si vào 2 số dương \(x^2,\frac{1}{x^2}\)ta có:
\(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{x^2.\frac{1}{x^2}}=2\)\(\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si vào hai số dương \(y^2,\frac{1}{y^2}\)ta có :

\(y^2+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{y^2.\frac{1}{y^2}}=2\)\(\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge4\)

\(\Rightarrow\)\(A_{min}=4\Leftrightarrow x=y=1\)

bạn ơi x+y<=1 mà bạn tìm ra x+y=2 rồi

Có lẽ là thế này ạ,sai đừng trách em (em mới lớp 7 thôi)

Ta dự đoán xảy ra cực trị tại x = y = ¹/₂.Ta biến đổi như sau:

\(A=\left(x^2+\frac{1}{4}\right)+\left(y^2+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{x^2}+4\right)+\left(\frac{1}{y^2}+4\right)-\frac{17}{2}\)

Áp dụng BĐT Cô si (AM- GM) cho các biểu thức trong ngoặc,ta được:

\(A\ge2\sqrt{\frac{x^2.1}{4}}+2\sqrt{\frac{y^2.1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{x^2}.4}+2\sqrt{\frac{1}{y^2}.4}-\frac{17}{2}\)

\(=\left(x+y\right)+2\left(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}\right)-\frac{17}{2}\)

\(=\left(x+y\right)+4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)-\frac{17}{2}\ge16\left(x+y\right)+\frac{16}{x+y}-15\left(x+y\right)-\frac{17}{2}\)

\(\ge2\sqrt{16\left(x+y\right).\frac{16}{x+y}}-15.1-\frac{17}{2}\)

\(=2.16-\frac{47}{2}=32-\frac{47}{2}=\frac{17}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy...

\(A=\dfrac{-\left(x^2+2xy+y^2\right)+4x^2+4xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}=-1+\left(\dfrac{2x+y}{x+y}\right)^2\ge-1\)

\(A_{min}=-1\) khi \(2x+y=0\)