Lời giải:

Áp dụng định lý Vi-et cho pt bậc 2 ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)

Khi đó, với $m\neq 2$, ta có:

\(\frac{1}{x_1}.\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_2x_2}=\frac{1}{2m-4}\)

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{2(m-1)}{2m-4}=\frac{m-1}{m-2}\)

Từ đây áp dụng định lý Vi-et đảo, \(\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}\) sẽ là nghiệm của pt:

\(X^2-\frac{m-1}{m-2}X+\frac{1}{2m-4}=0\)

Lời giải:

a) Ta có:

\(x^2-2(m-1)x+2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2-1)-2(m-1)x+2(m-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(x+1)-2(m-1)(x-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)[x+1-2(m-1)]=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(x-2m+3)=0\)

Do đó pt có nghiệm \(x=1\)

b) Nghiệm còn lại của PT là: \(x=2m-3\)

Như vậy : \(x_1-x_2=1\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 1-(2m-3)=1\\ (2m-3)-1=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=\frac{3}{2}\\ m=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

ĐK \(a+b\ne0\)

Ta có \(\Delta=\left[\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\right]^2-4.\left(a+b\right)^2.\left(-2ab\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(=\left[\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\right]^2+8ab\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2\right)\)

\(=\left(a+b\right)^2\left[\left(\left(a-b\right)^2\right)^2+8ab\left(a^2+b^2\right)\right]\)

\(=\left(a+b\right)^2\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)^2+8ab\left(a^2+b^2\right)\right]\)

\(=\left(a+b\right)^2\left[a^4+4a^2b^2+b^4-4a^3b-4ab^3+2a^2b^2+8a^3b+8ab^3\right]\)

\(=\left(a+b\right)^2\left[a^4+4a^2b^2+b^4+4a^3b+4ab^3+2a^2b^2\right]\)

\(=\left(a+b\right)^2.\left[\left(a^2+2ab+b^2\right)^2\right]=\left(a+b\right)^2\left(a+b\right)^4=\left(a+b\right)^6\)

Ta thấy \(\Delta=\left(a+b\right)^6>0\)với mọi \(a+b\ne0\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt 

\(x^2-6x+2m-3=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=36-4\left(2m-3\right)=36-8m+12=48-8m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)\(< =>48-8m>0< =>48>8m< =>6>m\)

Theo Vi-ét ta có :\(\hept{\begin{cases}x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-3\\x_1+x_2=\frac{-b}{a}=6\end{cases}}\)là 

\(x_1\)là nghiệm phương trình \(x_1^2-6x_1+2m-3=0\)

\(=>x_1^2=3-2m+6x_1\)

\(x_2\)là nghiệm phương trình \(x_2^2-6x_2+2m-3=0\)

\(=>x_2^2=3-2m+6x_2\)

Mà \(\left(x_1^2-5x_1+2m-4\right)\left(x_2^2-5x_2+2m-4\right)=2\)

\(\left(3-2m+6x_1-5x_1+2m-4\right)\left(3-2m+6x_2-5x_2+2m-4\right)=2\)

\(\left(3+x_1-4\right)\left(3+x_2-4\right)=2\)

\(\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)=2\)

\(x_1x_2-x_1-x_2+1=2\)

\(x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=1\)

\(2m-3-6=1\)

\(2m-9=1\)

\(m=5\)

Vậy m=5

Lời giải:

Ta có:

$\Delta'=(m-3)^2-(8-4m)=m^2-6m+9-8+4m=m^2-2m+1=(m-1)^2\geq 0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

Do đó pt luôn có nghiệm với mọi $m$