Ta có nghiệm của đa thức là giá trị của biến làm đa thức có giá trị bằng 0. 

Nếu f(a) = 0 => a là nghiệm của f(x). 

Do: x.f(x + 1) = (x + 2).f(x) (1) đúng với mọi x. 

+ Thay x = 0 vào (1) ta được 

0.f(0 + 1) = (0 + 2).f(0) 

=> 0 = 2.f(0) 

=> f(0) = 0 

Do f(0) = 0 => x = 0 là 1 nghiệm của đa thức trên. (2) 

+ Thay x = -2 vào (1) ta được: 

(-2).f(-2 + 1) = (-2 + 2).f(-2) 

=> (-2).f(-1) = 0.f(-2) 

=> (-2).f(-1) = 0 

=> f(-1) = 0 

=> x = -1 là 1 nghiệm của đa thức trên (3) 

Từ (2) và (3) => đa thức đã cho có ít nhất 2 nghiệm là x = 0 và x = -2

+Với x=2 thay vào ta được 

2.P(2+1)=(2-2).P(2) =>2.P(3)=0.P(2) => 2.P(2) =0 =>P(2)=0

 Suy ra x=2 là một nghiệm của đa thức P(x).

+Với x=0 thay vào ta được

0.P(0+1)=(0-2).P(0) =>0.P(1)= -2.P(0) => 0= -2.P(0) =>P(0)=-2

Suy ra x=0 là một nghiệm của đa thức P(x).

Vậy đa thức P(x) có ít nhất 2 nghiệm

\(x.P\left(x\right)=\left(x^2-9\right).P\left(x\right)\)

\(\Rightarrow x.P\left(x\right)-\left(x^2-9\right)P\left(x\right)=0\)

Thay x = 0 ta được :

\(0.P\left(0\right)-\left(0^2-9\right)P\left(0\right)=0\)

\(\Rightarrow9P\left(0\right)=0\)

\(\Rightarrow P\left(0\right)=0\) => x = 0 là nghiệm của đa thức P(x) (1)

Thay x = - 3 ta được :

\(-3.P\left(-3\right)-\left[\left(-3\right)^2-9\right].P\left(-3\right)=0\)

\(\Rightarrow-3.P\left(-3\right)=0\)

\(\Rightarrow P\left(-3\right)=0\) => x = - 3 là nghiệm của đa thức P(x) (2) 

Thay x = 3 ta được :

\(3.P\left(3\right)-\left(3^2-9\right).P\left(x\right)=0\)

\(\Rightarrow3.P\left(3\right)=0\)

\(\Rightarrow P\left(3\right)=0\) => x = 3 là nghiệm của đa thức P(x) (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) => P(x) có ít nhất 3 nghiệm (đpcm)

Ta cần tìm x sao cho: \(P\left(x\right)=2\left(x-3\right)^2+5=0\)

Ta có: \(P\left(x\right)=2\left(x-3\right)^2+5\ge5>0\forall x\)

Vậy đa thức vô nghiệm.(đpcm)

x²-2x+4

=x²-x-x+1+3

=x(x-1)-(x-1)+3

=(x-1)(x-1)+3

=(x-1)²+3>0

=> đa thức x²-2x+4 vô nghiệm