Ta có:

\(2017\left(ab+cd\right)=ab\left(c^2+d^2\right)+cd\left(a^2+b^2\right)\)

\(=\left(ad+bc\right)\left(bd+ac\right)=0\)

\(\Rightarrow ab+cd=0\)

mk k chơi

ngọc rồng

ko đâu có đâu mà cho bn hehe

Ta có : (ac + bd)² + (ad - bc)²

= a²c² + b²d² + 2acbd + a²d² - 2adbc + b²c²

= a²c² + b²d² + a²d² + b²c²

= a²c² + b²c² + b²d² + a²d²

= c²(a² + b²) + d²(a² + b²)

= (a² + b²)(c² + d²)

Câu 1

Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ => \(\sqrt{7}=\frac{a}{b}\) với a/b là phân số tối giản và a,b\(\in Z,b\ne0\)

\(\frac{a}{b}=\sqrt{7}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=7\Rightarrow a^2=7b^2\)=> a² chia hết cho 7 

mà 7 là số nguyên tố nên  a=7m => (7m)²=7b² => 49m²=7b² => 7m²=b² => b² chia hết cho 7

=> b chia hết cho 7 

Do đó a và b vẫn có ước chung là 7 suy ra phân số a/b chưa tối giản trái với giả thiết đưa ra

=>\(\sqrt{7}\) là số vô tỉ

Câu 2: 

a)\(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)

\(=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(d^2+c^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

ta có đpcm

b) \(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)

<=>\(a^2c^2+2abcd+b^2d^2-a^2c^2-b^2c^2-a^2d^2-b^2d^2\le0\Leftrightarrow2abcd-b^2c^2-a^2d^2\le0\)

<=>\(-\left(a^2d^2-2abcd+b^2c^2\right)\le0\Leftrightarrow-\left(ad-bc\right)^2\le0\) luôn đúng!

Câu 3: Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta được: \(\left(x.1+y.1\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1^2+1^2\right)\)

<=>\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow2^2\le2\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow2\le x^2+y^2=S\)

=>minS=2 <=> x=y=1

Câu 1:

\(\text{Tạm coi: }\sqrt{7}\text{ là số vô tỉ }\)

\(\Rightarrow\sqrt{7}=\frac{a}{b}\left(a,b\inℤ;b\ne0\right)\)

Ko tính tổng quát, tạm coi: (a; b) = 1

\(\Rightarrow7=\frac{a^2}{b^2}\)

\(\Leftrightarrow a^2=\frac{b}{7^2}\)

\(\Rightarrow a^2⋮7\)

7 là số nguyên tố

\(\Rightarrow a⋮7\)

\(\Rightarrow a^2⋮49\)

\(\Rightarrow7b^2⋮49\)

\(\Rightarrow b^2⋮7\)

\(\Rightarrow b⋮7\)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)\ne1\left(\text{trái với giả sử}\right)\left(\text{gỉa sử ko chính xác}\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{7}\text{là số vô tỉ}\)

Câu 2:

a) Ta có: \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)

\(=\left(ac\right)^2+2abcd+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2-2adbc+\left(bc\right)^2\)

\(=\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2\)

\(=\left[\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2\right]+\left[\left(bd\right)^2+\left(bc\right)^2\right]\)

\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)

\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\left(đ\text{pcm}\right)\)

b) Ta có: \(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^2d^2+2abcd\le a^2c^2+b^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)

\(\Leftrightarrow2abcd\le a^2d^2+b^2c^2\)

\(\Leftrightarrow0\le a^2d^2+b^2c^2-2abcd\)

\(\Leftrightarrow0\le\left(ad-bc\right)^2\left(\text{tmyc}\right)\)

\("="\Leftrightarrow ad-bc=0\Rightarrow ab=bc\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\left(đ\text{pcm}\right)\)

Câu 3:

\(x-y=2\Leftrightarrow x=y+2\)

Thay P, ta được:

\(P=\left(y+2\right)^2+y^2-\left(x+y\right)y\)

\(P=y^2+2y+4\)

\(P=\left(y+1\right)^2+3\)

\(P\ge3\)

\("="\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=-1\\x=1\end{cases}}\Rightarrow A_{\text{MIN}}=3\)

cm mấy cái này dài lắm 

câu 2: (ac+bd)² + (ad-bc)² = a²c²+b²d²+2abcd+a²d²-2abcd+b²c²
                                       = a²(c²+d²) + b²(c²+d²)
                                       = (a²+b²)(c²+d²) (dpcm)

đợi tí làm câu 3, câu 1 k hiểu lắm :)) mới lớp 8 thôi bro

Ta có : (ac + bd)² + (ad - bc)²

= a²c² + b²d² + 2acbd + a²d² - 2adbc + b²c²

= a²c² + b²d² + a²d² + b²c²

= a²c² + b²c² + b²d² + a²d²

= c²(a² + b²) + d²(a² + b²)

= (a² + b²)(c² + d²)

Câu 1:

Giả sử $\sqrt{7}$ là số hữu tỉ. Khi đó ta có thể viết $\sqrt{7}$ dưới dạng $\frac{a}{b}$ với $a,b\in\mathbb{N}^*$, $(a,b)=1$

Có:

$\sqrt{7}=\frac{a}{b}$

$\Rightarrow 7b^2=a^2\Rightarrow a^2\vdots 7$

$\Rightarrow a\vdots 7$ (do $7$ là số nguyên tố)

$\Rightarrow a^2\vdots 49$

Hay $7b^2\vdots 49$

$\Leftrightarrow b^2\vdots 7$

$\Rightarrow b\vdots 7$

Như vậy $ƯC(a,b)\neq 1$ (trái với điều kiện đặt ra)

Do đó điều giả sử là sai.

Tức $\sqrt{7}$ là số vô tỉ.

Câu 2:

a)

$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=a^2c^2+b^2d^2+2acbd+a^2d^2+b^2c^2-2adbc$

$=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2$

$=(a^2c^2+a^2d^2)+(b^2d^2+b^2c^2)$

$=a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ (đpcm)

b)

BĐT đã cho tương đương với:

$a^2c^2+b^2d^2+2acbd\leq a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$

$\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2-2abcd\geq 0$

$\Leftrightarrow (ad-bc)^2\geq 0$ (luôn đúng với mọi số thực $a,b,c,d$)

Do đó BĐT được chứng minh.

Câu 3:

Ta có:

$(x-y)^2\geq 0$ với mọi số thực $x,y$

$\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq x^2+y^2+2xy$

$\Leftrightarrow 2S\geq (x+y)^2$

$\Leftrightarrow 2S\geq 4$

$\Leftrightarrow S\geq 2$

Vậy $S_{\min}=2$. Giá trị này đạt được tại $x=y=1$

1) Giả sử \(\sqrt{7}\) là 1 số hữu tỉ, do đó \(\sqrt{7}=\dfrac{a}{b}\) với a,b là những số nguyên dương(\(\dfrac{a}{b}\) tối giản)

Từ đó: \(\sqrt{7}=\dfrac{a}{b}\Leftrightarrow7=\dfrac{a^2}{b^2}\Leftrightarrow7b^2=a^2\)

\(\Rightarrow a^2⋮7\Rightarrow a⋮7\Rightarrow a=7k\)

Suy ra: \(7b^2=49k^2\Leftrightarrow b^2=7k^2\Rightarrow b^2⋮7\Rightarrow b⋮7\)

Vậy mâu thuẫn với \(\dfrac{a}{b}\) tối giản

Vậy: \(\sqrt{7}\) là số vô tỉ

2) a) \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2+2ac.bd+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2-2ad.bc=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

b) Chuyển vế rồi khai triển, search trên mạng cũng có

3) Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:

\(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}=\dfrac{2^2}{2}=2\)

\(1.a,\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)

\(=\left(ac\right)^2+2abcd+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2-2abcd+\left(bc\right)^2\)

\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(b,\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)-\left(ad-bc\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow-\left(ad-bc\right)^2\le0\left(luôn-đúng\right)\)

\(dấu"='\) \(xảy\) \(ra\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

\(c2:x+y=2\Rightarrow\left(x+y\right)^2=4\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge4\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2\ge4\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge4\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2\)

\(dấu"="\) \(xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=1\)

Câu 1:

a)Ta có (ac+bd)²+(ad-bc)²=(ac)²+2abcd+(bd)²+(ad)²-2abcd+(bc)²

                                          =(ac)²+(bd)²+(ad)²+(bc)²

                                          =a²(c²+d²)+b²(c²+d²)

                                          =(a²+b²)(c²+d²) (đpcm)

b)Ta có (ac+bd)² = (ac)²+2abcd+(bd)²

Lại có (a²+b²)(c²+d²) = (ac)²+(bd)²+(ad)²+(bc)²

Ta có (ac+bd)² ≤  (a²+b²)(c²+d²) 

<=>(a²+b²)(c²+d²) - (ac+bd)² ≥ 0

<=>(ac)²+(bd)²+(ad)²+(bc)²-[(ac)²+2abcd+(bd)²]

<=>(ad)² - 2abcd +(bc)² ≥ 0

<=>(ad-bc)² ≥ 0 (Luôn đúng) => đpcm

Câu 2:

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki, ta có (x+ y)² ≤ (x² + y²)(1² + 1²) => 4  2.S => 2  S

Dấu ''='' xảy ra <=> x=y=1

Vậy Min S=2 <=> x=y=1