Đặt h(x) = x⁴ + a.x³ + b.x² + c.x + d

h(1)  = 1 => 1 + a + b + c + d = 2

Tương tự với h(2), h(4),... ta được 4 phương trình bậc một 4 ẩn, dễ dàng giải ra kết quả.

xét g(x)=x²+1 có g(1)=2; g(2)=5; g(4)=17; g(-3)=10

ta có f(x)=h(x)-g(x)thì f(x) bậc 4 của hệ số x⁴ là 1 và f(1)=f(2)=f(4)=f(-3)

=> f(x)=(x-1)(x-2)(x-4)(x+3)

=> f(x)=(x²-3x+2)(x²-x-12)=x⁴-4x³-7x²+34x-24

=> h(x)=x⁴-4x³-6x²+34x-25

Không hiểu nổi cách của ông, thà rằng làm theo kiểu (x-2)(x-4)(x+3).2/(1-2)(1-4)(1+3)  + .....

Mà dù sao thì hệ số tự do là -23 mới đúng, ông bị lộn dấu khúc cuối rồi.

Ta nhận thấy \(h\left(1\right)=2,h\left(2\right)=5,h\left(4\right)=17,h\left(-3\right)=10\)

Nhận Thấy h(x)=x^2+1 luôn đúng với x=1,2,4,-3

Vậy \(h\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x+3\right)+x^2+1\)

TM điều kiện đề

Đặt \(f\left(x\right)=h\left(x\right)-x^2-1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) cũng là đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1

Ta có: \(f\left(1\right)=h\left(1\right)-1-1=0\)

\(f\left(2\right)=h\left(2\right)-5=0\) ; \(f\left(4\right)=h\left(4\right)-17=0\) ; \(f\left(-3\right)=h\left(-3\right)-10=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 4 nghiệm pb \(x=\left\{-3;1;2;4\right\}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)\)

\(\Rightarrow h\left(x\right)=f\left(x\right)+x^2+1=\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)+x^2+1\)

\(\Rightarrow h\left(x\right)=x^4-4x^3-6x^2+34x-23\)

`1)`

`A(x)=x^3-2x^2+5x-2-x^3+x+7`

`A(x)=(x^3-x^3)-2x^2+(5x+x)+(-2+7)`

`A(x)=-2x^2+6x+5`

Bậc của đa thức: `2`

Hệ số cao nhất: `-2`

Hệ số tự do: `5`

`2)`

`H(x)-(2x^2 + 3x – 10) = A(x)`

`H(x)-(2x^2 + 3x – 10)=-2x^2+6x+5`

`H(x)= (-2x^2+6x+5)+(2x^2 + 3x – 10)`

`H(x)=-2x^2+6x+5+2x^2 + 3x – 10`

`H(x)=(-2x^2+2x^2)+(6x+3x)+(5-10)`

`H(x)=9x-5`

`3)`

Đặt `9x-5=0`

`9x=0+5`

`9x=5`

`-> x=5/9`

Ta có: P(1)=0; P(3)=0; P(5)=0

=> x=1; x=3; x=5 là nghiệm của P(x)

=> P(x) có dạng

P(x)= (x-1)(x-3)(x-5)(x+a) [ do p(x) có bậc 4 và hệ số cao nhất là 1]

=> P(-2)=(-2-1)(-2-3)(-2-5)(-2+a)

=>P(-2)=-105(-2+a)

=>P(-2)= 210 -105a

=> P(6)=(6-1)(6-3)(6-5)(6+a)

=> P(6)=15(6+a)

=> P(6)=90+ 15a

=>7P(6)= 630 + 105a

Vậy P(-2)+7P(6)=...