Đặt = t => a = bt ; c = dt thay vào từng vế  

Đặt a/b=c/d= t suy ra a=bt; c=dt

(a+b)/(a-b)= bt+b/bt-b = b(t+1)/b(t-1)=t+1/t-1 (1)

(c+d)/(c-d)= dt+d/dt-d = d(t+1)/d(t-1)=t+1/t-1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra (a+b)/(a-b)= (c+d)/(c-d)

\(\frac{a+b}{c+d}=\frac{b+c}{d+a}\)

<=>\(\frac{a+b}{c+d}+1=\frac{b+c}{d+a}+1\)

<=> \(\frac{a+b+c+d}{c+d}=\frac{a+b+c+d}{d+a}\)

<=> \(\frac{a+b+c+d}{c+d}-\frac{a+b+c+d}{d+a}=0\)

<=> \(\left(a+b+c+d\right)\left(\frac{1}{c+d}-\frac{1}{d+a}\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c+d=0\\\frac{1}{c+d}-\frac{1}{d+a}=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c+d=0\\c=a\end{cases}\left(đpcm\right)}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có :

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)

\(\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)

ta có a+b/a-b=c+d/c-d

suy ra (a+b)(c-d)=(a-b)(c+d)

ac-ad+bc-bd=ac+ad-bc-bd

ac-ac+bc+bc-bd+bd=ad+ad

2bc=2ad 

nen bc=ad=a/b=c/d

vay tu a/b=c/d ta co the suy ra a+b/a-b=c+d/c-d

\(2bd=c\left(b+d\right)\Rightarrow2b=\frac{c\left(b+d\right)}{d}\)

\(\Rightarrow a+c=\frac{c\left(b+d\right)}{d}\Rightarrow\frac{a+c}{c}=\frac{b+d}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}+1=\frac{b}{d}+1\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Ta có: 

\(a+c=2b_{\left(1\right)}\)

\(2bd=c\left(b+d\right)_2\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)\(\Rightarrow\)\(\left(a+c\right).d=c.\left(b+d\right)\)

\(\Rightarrow\)\(ad+cd=cb+cd\)( tính chất phân phối )

\(\Rightarrow\)\(ad=bc\)( rút gọn cả 2 vế cho \(cd\))

\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)( tính chất cơ bản của tỉ lệ thức )

\(\Rightarrow\)\(\left(đpcm\right)\)

Ta có: \(\left(a+b+c+d\right)\left(a-b-c+d\right)=\left(a-b+c-d\right)\left(a+b-c-d\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+d\right)^2-\left(b+c\right)^2=\left(a-d\right)^2-\left(b-c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+d-a+d\right)\left(a+d+a-d\right)=\left(b+c-b+c\right)\left(b+c+b-c\right)\)

\(\Leftrightarrow2d\cdot2a=2c\cdot2b\)

\(\Leftrightarrow ad=bc\)

hay \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)