Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , góc ABC = 60 0 , SA = a 3 và SA ⊥ (ABCD). Tính góc giữa SA và mặt phẳng (SBD)
A. 600
B. 900
C. 300
D. 450
Chọn C
Phương pháp
Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P).
Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’.
Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo, \(\widehat {ABC} = {60^ \circ },SO \bot \left( {ABCD} \right),SO = a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).
Kẻ \(OI \bot C{\rm{D}}\left( {I \in C{\rm{D}}} \right),OH \bot SI\left( {H \in SI} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot C{\rm{D}}\\OI \bot C{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {SOI} \right)\\\left. \begin{array}{l} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot OH\\OH \bot SI\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right)\\ \Rightarrow d\left( {O,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = OH\end{array}\)
\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AC = a \Rightarrow OC = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}\)
\(\Delta ABD\) có \(\widehat {BA{\rm{D}}} = {120^ \circ } \Rightarrow B{\rm{D}} = \sqrt {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2} - 2{\rm{A}}B.A{\rm{D}}} = a\sqrt 3 \Rightarrow OD = \frac{1}{2}B{\rm{D}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(\Delta OCD\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OI\)
\( \Rightarrow OI = \frac{{OC.O{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OI \Rightarrow \Delta SOI\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OH\)
\( \Rightarrow OH = \frac{{SO.OI}}{{\sqrt {S{O^2} + O{I^2}} }} = \frac{{a\sqrt {51} }}{{17}}\)
Vậy \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH = \frac{{a\sqrt {51} }}{{17}}\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, A B C ^ = 60 ° . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, A B C ^ = 60 ° , cạnh bên SA vuông góc với đáy và S a = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S.BCD
A. V = a 3 3 3
B. V = a 3 3 6
C. V = a 3 4
D. V = a 3 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, \(AD=a,AB=2a,\widehat{ABC}=45^0\). SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên (SBC) và đáy bằng \(60^0\). Tính thể tích hình chóp ?
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a góc ABC = 60 ° , chiều cao bằng 3a thể tích của khối chóp bằng.
A. a 3 2 3
B. 3 a 2 3
C. 2 a 3 12
D. 3 a 3 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh2a , A B C ^ = 60 ° , SA = a 3 và SA ⊥ (ABCD). Tính góc giữa SA và mặt phẳng (SBD)
A. 60 °
B. 90 °
C. 30 °
D. 45 °
Cho hình chóp S . A B C D có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, A B C ^ = 60 ∘ , S A = S B = S C = 2 a . Tính khoảng cách giữa AB và SC.
A. a 11 8
B. 3 a 11 4
C. a 11 12
D. a 11 12
Từ giả thiết suy ra: hình chóp S.ABC là hình chóp đều.
Gọi G là trọng tâm tam giác A B C ⇒ S G ⊥ A B C D
A B / / C D ⇒ A B / / S C D ⇒ d A B ; S C = d A B ; S C D = d B ; S C D = 3 2 d G ; S C D
(Vì B D G D = 3 2 ).
Trong mp (ABCD) vẽ G C ⊥ C D , C D ⊥ S G ⇒ C D ⊥ S G C ⇒ S G C ⊥ S C D
Mà S G C ∩ S C D = S C , vẽ G H ⊥ S C ⇒ d G ; S C D = G H
G B = G C = 2 3 . a 3 2 = a 3 3 .
⇒ S G = S B 2 − B G 2 = 4 a 2 − a 2 3 = a 11 3
Tam giác SHG vuông tại G:
1 G H 2 = 1 S G 2 + 1 G C 2 = 3 11 a 2 + 3 a 2 = 36 11 a 2 ⇒ G H = a 11 6
Vậy d A B ; S C = a 11 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, AB=a, B A D ^ = 60 ° SO ⊥ (ABCD) và mặt phẳng (SCD) tạo với mặt đáy một góc 60 ° . Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A. V S . A B C D = 3 a 3 12
B. V S . A B C D = 3 a 3 24
C. V S . A B C D = 3 a 3 8
D. V S . A B C D = 3 a 3 48
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1 góc A B C ^ = 60° Cạnh bên SD = 2 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3HB Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A. V = 5 24
B. V = 15 24
C. V = 15 8
D. V = 15 12
