Question

Cho hình chóp S . A B C D có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, A B C ^ = 60 ∘ , S A = S B = S C = 2 a . Tính khoảng cách giữa AB và SC.

A.  a 11 8

B. 3 a 11 4

C. a 11 12

D. a 11 12

Answer 1

Từ giả thiết suy ra: hình chóp S.ABC là hình chóp đều.

Gọi G là trọng tâm tam giác  A B C ⇒ S G ⊥ A B C D

A B / / C D ⇒ A B / / S C D ⇒ d A B ; S C = d A B ; S C D = d B ; S C D = 3 2 d G ; S C D  

(Vì B D G D = 3 2 ).

Trong mp (ABCD) vẽ G C ⊥ C D , C D ⊥ S G   ⇒ C D ⊥ S G C ⇒ S G C ⊥ S C D

Mà S G C ∩ S C D = S C , vẽ G H ⊥ S C   ⇒ d G ; S C D = G H

G B = G C = 2 3 . a 3 2 = a 3 3 .

⇒ S G = S B 2 − B G 2 = 4 a 2 − a 2 3 = a 11 3

Tam giác SHG vuông tại G: 

1 G H 2 = 1 S G 2 + 1 G C 2 = 3 11 a 2 + 3 a 2 = 36 11 a 2 ⇒ G H = a 11 6

Vậy  d A B ; S C = a 11 4