3: 

\(BC=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

HB=12^2/20=7,2cm

=>HC=20-7,2=12,8cm

\(AD=\dfrac{2\cdot12\cdot16}{12+16}\cdot cos45=\dfrac{48\sqrt{2}}{7}\)

\(HD=\sqrt{AD^2-AH^2}=\dfrac{48}{35}\left(cm\right)\)

Lần sau chép đề cẩn thận nhé. Sai tùm lum.

a, ΔAHB = ΔAHC.

Xét hai tam giác vuông AHB và AHC có:

AB = AC (hai cạnh bên)

^B = ^C (hai góc ở đáy)

Do đó: ΔAHB =  ΔAHC (cạnh huyền - góc nhọn)

b, ΔDHC cân. DM//AH. (sửa M là trung điểm HC nhé ! )

Vì HD//BA (gt) => ^B = ^H₁ (đồng vị) 

Mà ^B = ^C => ^H₁ = ^C => ΔDHC cân tại D (hai góc ở đáy)

Xét ΔDHM và ΔDCM có:

DH = DC (hai cạnh bên)

HM = MC (M là trung điểm của HC)

DM : chung

Do đó: ΔDHM = ΔDCM (c.c.c)

=> ^M₁ = ^M₂ (hai góc tương ứng)

Mà ^M₁ + ^M₂ = 180o (kề bù)

=> ^M₁ = ^M₂ = 180^o : 2 = 90^o hay DM ⊥ BC.

Vậy DM // AH (cùng vuông góc với BC).

c, G là trọng tâm ΔABC. AH + BD > 3HD.

Ta có: ^H₂ = ^A₁ (so le trong)

Mà ^A₁ = ^A₂ (hai góc tương ứng)

=> ^H₂ = ^A₂ => ΔHDA cân tại D (hai góc ở đáy) 

=> DA = DH (hai cạnh bên)

Vì DH = DC (hai cạnh bên)

     DA = DH (hai cạnh bên)

=> DA = DC 

=> BD là trung tuyến ứng với cạnh bên AC.

Vì BH = HC (hai cạnh tương ứng) => AH là trung tuyến ứng với cạnh đáy BC.

Mà AC cắt BC tại G => CG là trung tuyến ứng với cạnh bên AB

=> G là trọng tâm của  ΔABC.

Ta có: \(\widehat{HCA}+\widehat{ABH}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

\(\widehat{HAB}+\widehat{ABH}=90^0\)(ΔABH vuông tại H)

Do đó: \(\widehat{HCA}=\widehat{HAB}\)

mà \(\widehat{KCA}=\dfrac{\widehat{HCA}}{2}\)(CK là tia phân giác của \(\widehat{HCA}\))

và \(\widehat{KAB}=\dfrac{\widehat{HAB}}{2}\)(AK là tia phân giác của \(\widehat{HAB}\))

nên \(\widehat{KCA}=\widehat{KAB}\)(đpcm)

Sửa đề: BD=7,5cm

BC=7,5+10=17,5cm

AD là phân giác

=>AB/BD=aC/CD

=>AB/3=AC/4=k

=>AB=3k; AC=4k

AB^2+AC^2=BC^2

=>25k^2=17,5^2

=>k=3,5

=>AB=10,5cm; AC=14cm

AH=10,5*14/17,5=8,4cm

\(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos45=\dfrac{2\cdot10.5\cdot14}{10.5+14}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\left(cm\right)\)

Lời giải:

a. $\widehat{C}=90^0-\widehat{B}=90^0-60^0=30^0$

$\frac{AB}{BC}=\cos B=\cos 60^0$

$\Rightarrow BC=\frac{AB}{\cos 60^0}=\frac{8}{\cos 60^0}=16$ (cm)

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt{3}$ (cm)

b.

$AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{8.8\sqrt{3}}{16}=4\sqrt{3}$ (cm)

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{8^2-(4\sqrt{3})^2}=4$ (cm) theo định lý Pitago

Theo tính chất tia phân giác:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{8\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{1}{1+\sqrt{3}}$

$\Rightarrow BD=\frac{BC}{1+\sqrt{3}}=\frac{16}{1+\sqrt{3}}=-8+8\sqrt{3}$ (cm)

$HD=BD-BH=-12+8\sqrt{3}$ 

$AD=\sqrt{AH^2+HD^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+(-12+8\sqrt{3})^2}=7,17$ (cm)

Hình vẽ: