xét đường tròn tâm o có

C là điểm chính giữa nằm trên nửa đường tròn

=> cung CA = cung CB     

=> CA=CB       điều 1  ...liên hệ giữa cung và dây

mặt khác.     góc CBNlaf góc nội tiếp chắn cung CN

                    góc NMC là góc nội tiếp chắn cung CN 

=> góc CBN = góc NMC  

lại có cung BN = cung CM 

=> BN=MC

xét tam giác CBN  và Tam giác NMC có

       CN chung

      BN = MC

     góc CBN= góc NMC 

=> 2 tam giác bằng nhau => MN = BC     điều 2

từ 1 và 2 => MN= CA =CB

OB=OC

MB=MC

=>OM là trung trực của BC

=>OM vuông góc BC tại I

góc CHO+góc CIO=180 độ

=>CHOI nội tiếp

a: Xét (O) có

\(\widehat{NBC}\) là góc nội tiếp chắn cung NC

\(\widehat{NAC}\) là góc nội tiếp chắn cung NC

Do đó: \(\widehat{NBC}=\widehat{NAC}\)

Xét ΔMAC và ΔMBN có

\(\widehat{MAC}=\widehat{MBN}\)

\(\widehat{M}\) chung

Do đó: ΔMAC đồng dạng với ΔMBN

=>\(\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{MC}{MN}\)

=>\(MA\cdot MN=MB\cdot MC\)

Tam giác DEK vuông tại K có KH là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên: HK = HE = (1/2).DE (tính chất tam giác vuông)

Suy ra tam giác EHK cân tại H

d) Xét tam giác DEK vuông tại K có KH là trung tuyến nên KH = HE

ΔKHE có KH = HE ⇒ ΔKHE cân tại H

⇒ ∠(HKE ) = ∠(KEH)

Lại có ΔO'CK cân tại O' ⇒ ∠(O'CK) = (O'KC)

⇒ ∠(HKE ) + ∠(O'KC) = ∠(KEH) + ∠(O'CK)

⇔ ∠(O'KH) = ∠(KEH) + ∠(O'CK)

Mặt khác ∠(O'CK) = ∠(HCE) (đối đỉnh)

ΔHEC vuông tại H nên ∠(KEH) + ∠(HCE) = 90o ⇒ ∠(KEH) + ∠(O'CK) = 90 0

Hay ∠(O'KH) =  90 0

⇒ KH là tiếp tuyến của (O')

Trong đường tròn (O’) ta có AC và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C

Suy ra:  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà O’I ⊥ O’A (gt)

CA ⊥ O’A (chứng minh trên)

Suy ra: O’I // CA =>  (hai góc so le trong)

Suy ra: 

Hay tam giác CIO’ cân tại I => IC = IO’

Khi đó I nằm trên đường trung trực của O’C

Lại có:  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

KC ⊥ CA (gt)

O’A ⊥ AC (chứng minh trên)

Suy ra: KC // O’A =>  (hai góc so le trong)

Suy ra: 

Hay tam giác CKO’ cân tại K => KC = KO’

Khi đó K nằm trên đường trung trực của O’C

Mặt khác: OC = OO’ (= R)

Suy ra O, I, K nằm trên đường trung trực của O’C

Vậy O, I, K thẳng hàng.

Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có Ab là đường kính nên vuông tại D

Suy ra: AD ⊥ BD

Tứ giác ADCE là hình thoi nên EC // AD

Suy ra: EC ⊥ BD     (1)

Tam giác BCK nội tiếp trong đường tròn (O’) có BC là đường kính nên vuông tại K

Suy ra: CK ⊥ BD     (2)

Từ (1) và (2) suy ra EC trùng với CK

Vậy E, C, K thẳng hàng.