Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (0;R). Vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC của đường tròn (0) (A,B là các tiếp điểm) Vẽ đường kính BD của đường tròn (0) AD cắt đường tròn (0) tại điểm thứ 2 là E, gọi K là trung điểm DE. a) C/m: 5 điểm A,B,0,K,C cùng thuộc 1 đường tròn (0) b) C/m: AD.AE=AC^2
trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm E(3;4), đường thẳng d : x + y - 1 = 0 và đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x - 2y - 4 = 0 . Gọi M (m;1-m) là điểm nằm trên đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (C), từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (C), với A,B là các tiếp điểm. Gọi (E) là đường tròn tâm E và tiếp xúc với đường thẳng AB. Khi đường tròn (E) có chu vi lớn nhất. Tìm tọa độ điểm M
(C): x^2+y^2+4x-2y-4=0
=>(x+2)^2+(y-1)^2=9
=>I(-2;1); R=3
M thuộc d nên M(a;1-a)
M nằm ngoài (C) nên IM>R
=>IM^2>9
=>2a^2+4a-5>0
MA^2=MB^2=IM^2-IA^2=(a+2)^2+(-a)^2-9=2a^2+4a-5
=>x^2+y^2-2ax+2(a-1)y-6a+6=0(1)
A,B thuộc (C)
=>Tọa độ A,B thỏa mãn phương trình:
x^2+y^2+4x-2y-4=0(2)
(1)-(2)=(a+2)x-ay+3a-5=0(3)
Tọa độ A,B thỏa mãn (3) nên (3) chính là phương trình đường thẳng AB
(E) tiếp xúc AB nên (E): R1=d(E,AB)
Chu vi của (E) lớn nhất khi R1 lớn nhất
=>d(E;AB) lớn nhất
Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên AB
=>d(E,Δ)=EH<=EK=căn 10/2
Dấu = xảy ra khi H trùng K
=>AB vuông góc EK
vecto EK=(-1/2;3/2), AB có VTCP là (a;a+2)
AB vuông góc EK
=>-1/2a+3/2(a+2)=0
=>a=-3
=>M(-3;4)
cho đường tròn c có pt x^2+y^2-6x+2y+6=0 và điểm A (1;-1) B (1;3) a, cm điểm A thuộc đường tròn và B nằm ngoài đường tròn
PT đường tròn (x - 3)2 + (y + 1)2 = 4
Vậy đường tròn (C) có tâm I (3 ; -1) và bán kính bằng 2
\(\overrightarrow{IA}=\left(-2;0\right)\)⇒ IA = 2 ⇒ A thuộc đường tròn
\(\overrightarrow{IB}=\left(-2;4\right)\) ⇒ IB > 2 ⇒ B nằm ngoài đường tròn
Cho đường tròn (0) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyên AB,
AC của đường tròn (O) với B và C là hai tiếp điểm, Vẽ đường kính BD của (O); AD căt (O)
điểm (1; 7).
qua
tại điểm thứ hai là E. Gọi H là giao điểm của OA và BC, K là trung điểm của ED.
a) Chứng minh năm điểm A, B, O, K, C cùng nằm trên một đưong tròn.
b) Chứng minh AE.AD = AC?.
c) Đường thẳng OK cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh FD là tiếp tuyến của
đường tròn (O).
a: Xét tứ giác ABOC có
\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\)
Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp(1)
Xét tứ giác OKAB có
\(\widehat{OKA}+\widehat{OBA}=180^0\)
Do đó: OKAB là tứ giác nội tiếp(2)
Từ (1) và (2) suy ra A,B,O,K,C cùng nằm trên đường tròn
Bài 4. (3,5 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (0;R) sao cho OM = 2R. Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (0) (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của đường tròn (0). Gọi H là giao điểm của AB và OM. 1) Chứng minh bốn điểm A, O, B, M cùng thuộc một đường tròn. 2) Tính tỷ số OH/OM. 3) Gọi E là giao điểm của CM và đường tròn (0). Chứng minh HE vuông góc BE.
Cho đường tròn tâm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyển AB, AC của đường tròn (O) với B và C là hai tiếp điểm. Vẽ đường kính BD của đường tròn (O), AD cắt đường tròn (0) tại E. Gọi H là giao điểm của OA và BC, K là trung điểm ED. a/ Chứng minh A, B, O, K, C nằm trên đường tròn b/ Chứng minh AE. AD= AC.AC c/ Vẽ OK cắt BC tại F. Chứng minh FD là tiếp tuyển của đường tròn (O).
a: ΔODE cân tại O
mà OK là trung tuyến
nên OK vuông góc DE
góc OKA=góc OBA=góc OCA=90 độ
=>O,K,C,A,B cùng thuộc 1 đường tròn
b: Xét ΔACE và ΔADC có
góc ACE=góc ADC
góc CAE chung
=>ΔACE đồng dạng với ΔADC
=>AC/AD=AE/AC
=>AC^2=AD*AE
c: Xét ΔOKA vuông tại K và ΔOHF vuông tại H có
góc O chung
=>ΔOKA đồng dạng với ΔOHF
=>OK/OH=OA/OF
=>OK*OF=OH*OA=OE^2=OD^2
=>FD là tiếp tuyến của (O)
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O vẽ tiếp tuyến AB ( B là tiếp điểm ) và cát tuyết ACD . Gọi I là trung điểm của CD . Vẽ dây cung BE vuông góc với OA tại H . Chứng minh AE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O vẽ tiếp tuyến AB ( B là tiếp điểm ) và cát tuyết ACD . Gọi I là trung điểm của CD . Vẽ dây cung BE vuông góc với OA tại H . Chứng minh AE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
Do \(OB=OE=R\Rightarrow\Delta OBE\) cân tại O
Mà \(OH\perp BE\) (giả thiết) \(\Rightarrow OH\) là đường cao đồng thời là trung trực của BE
Hay OA là trung trực của BE
\(\Rightarrow AB=AE\)
Xét hai tam giác OAB và OAE có: \(\left\{{}\begin{matrix}OB=OE=R\\AB=AE\left(cmt\right)\\OA\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta OAB=\Delta OAE\left(c.c.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AEO}=\widehat{ABO}=90^0\Rightarrow AE\) là tiếp tuyến của (O)
Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn tâm ( O) kể các tiếp tuyến AM,AN với đường tròn chứng minh N là các tiếp tuyến điểm a) Chứng minh: 4 điểm A,M,O,N cùng nằm trên một đường tròn b) Chứng minh: AO vuông góc MN
a: Xét tứ giác OMAN có
\(\widehat{OMA}+\widehat{ONA}=180^0\)
Do đó: OMAN là tứ giác nội tiếp
