Giả sử vị trí các điểm theo thứ tự là A, C, B, D.

Kẻ OH ⊥ CD. Theo tính chất đường kính vuông góc với một dây ta có:

    HA = HB, HC = HD

Nên AC = HA – HC = HB – HD = BD

Vậy AC = BD.

(Trường hợp vị trí các điểm theo thứ tự là A, D, C, B chứng minh tương tự.)

Giả sử vị trí các điểm theo thứ tự là A, C, B, D.

Kẻ OH ⊥ CD. Theo tính chất đường kính vuông góc với một dây ta có:

    HA = HB, HC = HD

Nên AC = HA – HC = HB – HD = BD

Vậy AC = BD.

(Trường hợp vị trí các điểm theo thứ tự là A, D, C, B chứng minh tương tự.)

Đáp án C

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ với  O 3 ≡ O , O 2 C ≡ O x , O 2 A ≡ O y .

Ta có 

O 1 O 2 = O 1 A 2 − O 2 A 2 = 5 2 − 3 2 = 4 ⇒ O 1 − 4 ; 0 .

Phương trình đường tròn  O 1 : x + 4 2 + y 2 = 25.

Phương trình đường tròn  O 2 : x 2 + y 2 = 9.

Kí hiệu H 1  là hình phẳng giới hạn bởi các đường O 2 : x 2 + y 2 = 9,  trục Oy: x = 0  khi x ≥ 0 .

Kí hiệu H 2  là hình phẳng giới hạn bởi các đường O 2 : x 2 + y 2 = 9,  trục Oy: x=0 khi x ≥ 0 .

Khi đó thể tích V cần tìm chíình bằng thể tích   V 2 của khối tròn xoay thu được khi quay hình H 2  xung quanh trục Ox (thể tích nửa khối cầu bán kính bằng 3) trừ đi thể tích  V 1  của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H 1  xung quanh trục Ox.

Ta có V 2 = 1 2 . 4 3 π 3 3 = 18 π  (đvtt);

V 1 = π ∫ 0 1 y 2 d x = π ∫ 0 1 25 − x + 4 2 d x = 14 π 3  (đvtt).

 Vậy V = V 2 − V 1 = 18 π − 14 π 3 = 40 π 3  (đvtt).  

1) Trong (O) có CD là dây cung không đi qua (O) và H là trung điểm CD

\(\Rightarrow OH\bot CD\Rightarrow\angle OHI=90=\angle OAI\Rightarrow OHAI\) nội tiếp

Ta có: \(\angle OAI+\angle OBI=90+90=180\Rightarrow OAIB\) nội tiếp 

\(\Rightarrow O,H,A,B,I\) cùng thuộc 1 đường tròn

2) Vì IA,IB là tiếp tuyến \(\Rightarrow IB=IA=OA=OB\Rightarrow AOBI\) là hình thoi

có \(\angle OAI=90\Rightarrow AOBI\) là hình vuông

AB cắt OI tại E.Dễ chứng minh được E là trung điểm AB

Ta có: \(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2}R\Rightarrow AE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}R\)

\(\Rightarrow\) bán kính của (AOBI) là \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}R\)

\(\Rightarrow\) diện tích của (AOBI) là \(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}R\right)^2.\pi=\dfrac{1}{2}\pi R^2\)

3) OH cắt AB tại F

Ta có: \(\angle IEF=\angle IHF=90\Rightarrow IEHF\) nội tiếp

\(\Rightarrow OH.OF=OE.OI\) (cái này chỉ là đồng dạng thôi,bạn tự chứng minh nha)

mà \(OE.OI=OB^2=R^2\Rightarrow OF=\dfrac{R^2}{OH}\)

mà H cố định \(\Rightarrow\) F cố định \(\Rightarrow AB\) đi qua điểm F cố định 

Hướng dẫn giải:

Vẽ .

Theo tính chất đường kính vuông góc với một dây ta được MA=MB và MC=MD.

Từ đó suy ra AC=BD.

Nhận xét. Kết luận bài toán vẫn được giữ nguyên nếu C và D đổi chỗ cho nhau.