Ta có: Hình chữ nhật EMFN là hình thoi ⇒ ME = MF

ME = 1/2 DE (tính chất hình thoi)

MF = 1/2 AF (tính chất hình thoi)

Suy ra: DE = AF

⇒ Tứ giác AEFD là hình vuông (vì hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau)

⇒ ∠ A = 90 0  ⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Ngược lại: ABCD là hình chữ nhật ⇒  ∠ A =  90 0

Hình thoi AEFD có ∠ A =  90 0  nên AEFD là hình vuông

⇒ AF = DE ⇒ ME = MF (tính chất hình vuông)

Hình chữ nhật EMFN là hình vuông (vì có 2 cạnh kề bằng nhau)

Vậy hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật có AB = 2AD.

Xét tứ giác ABED có

AB//ED

AB=ED

=>ABED là hbh

Vì `E` là trung điểm `CD` nên `CE = ED = AB = AD`.

Vì `AB //// CD => AB //// ED`.

Và `AB = ED => ABED` là hình bình hành.

* Xét tứ giác AEFD, ta có:

AB // CD (gt) hay AE // FD

AE = 1/2 AB (gt)

FD = 1/2 CD (gt)

Suy ra: AE = FD

Tứ giác AEFD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

AD = AE = 1/2 AB . Vậy tứ giác AEFD là hình thoi.

* Xét tứ giác AECF, ta có: AE // CF (gt)

AE = 1/2 AB (gt)

CF = 1/2 CD (gt)

Suy ra: AE = CF

Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

+) Vì ABCD là hình bình hành

=> AB // CD và AB = CD

hay AE // DF và AE = DF 

=> AEFD là hình bình hành

+) Vì ABCD là hình bình hành

=> AE // FC và AE = FC

=> AECF là hình bình hành

Ta có:

\(E\) là trung điểm của  \(AB\left(gt\right)\) nên  \(EA=EB=\frac{1}{2}AB\)

\(F\) là trung điểm của  \(CD\left(gt\right)\)  nên  \(FC=FD=\frac{1}{2}CD\) 

Mà  \(AB=CD\)  (cạnh đối hình bình hành  \(ABCD\) )

nên  \(EA=FD\)   \(\left(1\right)\)

Vì  \(AB\text{//CD}\)  (theo tính chất cạnh đối hình bình hành  \(ABCD\) ) nên  \(EA\text{//FD}\)   \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\)  suy ra, tứ giác  \(AEFD\) là hình bình hành  \(\left(3\right)\)

Lại có: 

 \(AB=2AD\left(gt\right)\Rightarrow AD=\frac{1}{2}AB\) 

Do đó:   \(EA=AD\left(=\frac{1}{2}AB\right)\)  \(\left(4\right)\)

Từ  \(\left(3\right);\left(4\right)\)  suy ra, \(AEFD\)  là hình thoi.