Dùng phương pháp thế, thế phương trình đầu vào phương trình sau (thế vào số 2 ở VP phương trình sau), sau 1 vài phép biến đổi và giải hệ, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{a+b}\\y=\frac{1}{a-b}\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\\frac{-1-\sqrt{5}}{4}\le x\le-\frac{1}{8}\end{matrix}\right.\)(Có thể chưa chính xác)

\(12x^2+16x+1=2\sqrt{24x^3+12x^2-6x}+4\sqrt{x^2-x}+4\sqrt{8x^3+9x^2+x}\)

Áp dụng AM-GM:

\(2\sqrt{24x^3+12x^2-6x}=2\sqrt{6x\left(4x^2+2x-1\right)}\le6x+\left(4x^2+2x-1\right)=4x^2+8x-1\left(1\right)\)

\(4\sqrt{x^2-x}=2\sqrt{1.\left(4x^2-4x\right)}\le4x^2-4x+1\left(2\right)\)

\(4\sqrt{8x^3+9x^2+x}=2\sqrt{\left(4x^2+4x\right)\left(8x+1\right)}\le\left(4x^2+4x\right)+\left(8x+1\right)=4x^2+12x+1\left(3\right)\)

Cộng \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta có: \(VP\le VT\)

Dấu ''='' xảy ra khi :

\(\left\{{}\begin{matrix}4x^2+2x-1=6x\\4x^2-4x=1\\4x^2+4x=8x+1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow4x^2-4x-1=0\)

\(\Rightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{2}}{2}\) (t/m ĐKXĐ)

Để hệ phương trình có nghiệm, xét pt thứ nhất:

\(y^2-xy+1=0\Leftrightarrow x=\frac{y^2+1}{y}\left(x^2\ge4;y\ne0\right)\)

Thế vào pt thứ hai:

\(\frac{\left(y^2+1\right)^2}{y^2}+\frac{2\left(y^2+1\right)}{y}+y^2+2y+1=0\)

\(\Leftrightarrow2y^2+4y^3+3y^2+2y+1=0\) (Quy đồng khử mẫu)

\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)^2\cdot\left(2y^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow y=-1\Leftrightarrow x=-2\) thử lại thỏa mãn.

Vậy...

Thay \(z=4-x-y\) vào phương trình dưới:

\(x^2+y^2+\left(4-x-y\right)^2=\frac{11}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2xy-8x-8y+16=\frac{11}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2+x\left(y-4\right)+y^2-4y+\frac{21}{4}=0\)

\(\Delta=\left(y-4\right)^2-4\left(y^2-4y+\frac{21}{4}\right)\)

\(=y^2-8y+16-4y^2+16y-21=-3y^2+8y-5\)

\(=\left(5-3y\right)\left(y-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1\le y\le\frac{5}{3}\)

\(y_{max}=\frac{5}{3}\), thay vào hệ ban đầu tìm x, z

\(y_{min}=1\), làm tương tự.

Thật ra tui cũng chả biết có nghiệm hay không đâu :>

Chưa có giải hệ :>>>

Đặt \(\sqrt{x-1}=a\ge0;\sqrt{6-x}=b\ge0\left(1\le x\le6\right)\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+7b=15\\a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=15-7b\\\left(15-7b\right)^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow50b^2-210b+220=0\Leftrightarrow5b^2-21b+22=0\)

\(\Leftrightarrow\left(5b-11\right)\left(b-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=2\Leftrightarrow a=1\\b=\frac{11}{5}\Leftrightarrow a=-\frac{2}{5}\left(l\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2\) (t/m đk)

Vậy...

Trừ pt trên cho pt dưới, ta có:

\(xy\left(x-y\right)=\left(y-x\right)\left(y+x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y+xy\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x+y+xy=0\end{matrix}\right.\)

*Với \(x=y\), thay vào pt đầu:

\(y^3-y^2+2=0\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(y^2-2y+2\right)=0\Leftrightarrow y=-1\)

\(\Leftrightarrow x=y=-1\)

*Với \(x+y+xy=0\) thì \(x=-\frac{y}{y+1}\), \(y\ne-1\), thay vào pt đầu: \(\frac{y^3}{\left(y+1\right)^2}+2=y^2\Leftrightarrow y^3+2\left(y+1\right)^2=y^2\left(y+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow y^4+y^3-y^2-4y-2=0\Leftrightarrow\left(y^2-y-1\right)\left(y^2+2y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\) từ đó suy ra x. Tìm xong thử lại nghiệm.

Đặt \(\overline{abc}=11m+k;\overline{xyz}=11n+k\left(k\in N,k< 11\right)\)

Khi đó ta có: \(\overline{abcxyz}=1000.\overline{abc}+\overline{xyz}=1000\left(11m+k\right)+11n+k\)

\(=11000m+11n+1001k\)

Biểu thức trên chia hết cho 11 với mọi m, n, k.

Vậy ....

Ta có: \(2^{2020}\) có 2021 ước nguyên dương là các ước: \(2^0;2^1;...;2^{2020}\). Vậy có 4042 ước tất cả bao gồm âm và dương.

Các ước có dạng 3x + 1 là: \(2^{2k}\) với \(0\le k\le1010\); \(-2^{2k+1}\) với \(0\le k\le1009\)

Vậy \(3x+1\) nhận tổng cộng 2021 giá trị thỏa mãn x nguyên

Tức là có 2021 số nguyên x sao cho \(\frac{2^{2020}}{3x+1}\)là số nguyên

Chắc đây là bài chứng minh đẳng thức. Ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) (1)

Có lẽ đoạn \(\frac{1}{\sqrt{3}+2}\) nên sửa thành \(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\) mới đúng đề.

Áp dụng cái đẳng thức (1) trên vào, ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}\)

\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}=\sqrt{100}-\sqrt{1}=10-1=9\)

3. Gọi STN có 5 chữ số đó là \(\overline{abcde}\), ta có:

\(10000\le\overline{abcde}\le99999\)

\(\Rightarrow\)\(22^3\le\overline{abcde}=\overline{ab^3}\le46^3\)

Vì đã giới hạn được khoảng ngắn lên cứ thế mà thử từng số từ 22 đến 46 là xong :>

Kết quả \(\overline{ab}=32\)