Vũ Huy Hoàng

Để hệ phương trình có nghiệm, xét pt thứ nhất:

\(y^2-xy+1=0\Leftrightarrow x=\frac{y^2+1}{y}\left(x^2\ge4;y\ne0\right)\)

Thế vào pt thứ hai:

\(\frac{\left(y^2+1\right)^2}{y^2}+\frac{2\left(y^2+1\right)}{y}+y^2+2y+1=0\)

\(\Leftrightarrow2y^2+4y^3+3y^2+2y+1=0\) (Quy đồng khử mẫu)

\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)^2\cdot\left(2y^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow y=-1\Leftrightarrow x=-2\) thử lại thỏa mãn.

Vậy...

Thay \(z=4-x-y\) vào phương trình dưới:

\(x^2+y^2+\left(4-x-y\right)^2=\frac{11}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2xy-8x-8y+16=\frac{11}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2+x\left(y-4\right)+y^2-4y+\frac{21}{4}=0\)

\(\Delta=\left(y-4\right)^2-4\left(y^2-4y+\frac{21}{4}\right)\)

\(=y^2-8y+16-4y^2+16y-21=-3y^2+8y-5\)

\(=\left(5-3y\right)\left(y-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1\le y\le\frac{5}{3}\)

\(y_{max}=\frac{5}{3}\), thay vào hệ ban đầu tìm x, z

\(y_{min}=1\), làm tương tự.

Thật ra tui cũng chả biết có nghiệm hay không đâu :>

Chưa có giải hệ :>>>

Đặt \(\sqrt{x-1}=a\ge0;\sqrt{6-x}=b\ge0\left(1\le x\le6\right)\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+7b=15\\a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=15-7b\\\left(15-7b\right)^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow50b^2-210b+220=0\Leftrightarrow5b^2-21b+22=0\)

\(\Leftrightarrow\left(5b-11\right)\left(b-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=2\Leftrightarrow a=1\\b=\frac{11}{5}\Leftrightarrow a=-\frac{2}{5}\left(l\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2\) (t/m đk)

Vậy...

Trừ pt trên cho pt dưới, ta có:

\(xy\left(x-y\right)=\left(y-x\right)\left(y+x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y+xy\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x+y+xy=0\end{matrix}\right.\)

*Với \(x=y\), thay vào pt đầu:

\(y^3-y^2+2=0\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(y^2-2y+2\right)=0\Leftrightarrow y=-1\)

\(\Leftrightarrow x=y=-1\)

*Với \(x+y+xy=0\) thì \(x=-\frac{y}{y+1}\), \(y\ne-1\), thay vào pt đầu: \(\frac{y^3}{\left(y+1\right)^2}+2=y^2\Leftrightarrow y^3+2\left(y+1\right)^2=y^2\left(y+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow y^4+y^3-y^2-4y-2=0\Leftrightarrow\left(y^2-y-1\right)\left(y^2+2y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\) từ đó suy ra x. Tìm xong thử lại nghiệm.

Đặt \(\overline{abc}=11m+k;\overline{xyz}=11n+k\left(k\in N,k< 11\right)\)

Khi đó ta có: \(\overline{abcxyz}=1000.\overline{abc}+\overline{xyz}=1000\left(11m+k\right)+11n+k\)

\(=11000m+11n+1001k\)

Biểu thức trên chia hết cho 11 với mọi m, n, k.

Vậy ....

Ta có: \(2^{2020}\) có 2021 ước nguyên dương là các ước: \(2^0;2^1;...;2^{2020}\). Vậy có 4042 ước tất cả bao gồm âm và dương.

Các ước có dạng 3x + 1 là: \(2^{2k}\) với \(0\le k\le1010\); \(-2^{2k+1}\) với \(0\le k\le1009\)

Vậy \(3x+1\) nhận tổng cộng 2021 giá trị thỏa mãn x nguyên

Tức là có 2021 số nguyên x sao cho \(\frac{2^{2020}}{3x+1}\)là số nguyên

Chắc đây là bài chứng minh đẳng thức. Ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) (1)

Có lẽ đoạn \(\frac{1}{\sqrt{3}+2}\) nên sửa thành \(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\) mới đúng đề.

Áp dụng cái đẳng thức (1) trên vào, ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}\)

\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}=\sqrt{100}-\sqrt{1}=10-1=9\)

3. Gọi STN có 5 chữ số đó là \(\overline{abcde}\), ta có:

\(10000\le\overline{abcde}\le99999\)

\(\Rightarrow\)\(22^3\le\overline{abcde}=\overline{ab^3}\le46^3\)

Vì đã giới hạn được khoảng ngắn lên cứ thế mà thử từng số từ 22 đến 46 là xong :>

Kết quả \(\overline{ab}=32\)

2. Dễ thấy \(32^2\le\overline{ab}^2=\overline{acdb}\le99^2\) do \(\overline{acdb}\) có 4 chữ số.

Ta chứng minh được với a nhận các giá trị từ 1 tới 8 thì:

\(\overline{ab}^2=100a^2+20ab+b^2\le100a^2+180a+81< 1000a< \overline{acdb}\)

(Thay lần lượt các giá trị vô là xong)

Do đó \(a=9\). Vì \(\overline{ab}^2\) có tận cùng là b nên b nhận các giá trị 0,1,5,6.

Thử từng trường hợp ta được \(\overline{ab}=95;\overline{ab}=96\)

Có vẻ khá lâu rùi ko có ai giải bài này.

1. \(\overline{ab}^2=\overline{abc}+c^2\le999+9^2=1080\)

\(\Leftrightarrow\overline{ab}\le31\) . Cũng có: \(\overline{ab}\ge10\) vì là số có 2 chữ số

\(\overline{ab}^2-10.\overline{ab}=c^2+c\)

Với \(\overline{ab}\ge16\) thì \(\overline{ab}^2-10\overline{ab}\ge96>90=9^2+9\ge c^2+c\) (ko t/m)

Vậy \(10\le\overline{ab}\le16\)

Thử từng trường hợp tìm được \(\overline{abc}=100;\overline{abc}=147\)

Từ phương trình chứa căn ban đầu ta có: ĐKXĐ là \(-\frac{11}{5}\le x\le6\)

\(\sqrt{5x+11}-6+1-\sqrt{6-x}+5x^2-14x-55=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{5\left(x-5\right)}{\sqrt{5x+11}+6}+\frac{x-5}{\sqrt{6-x}+1}+\left(x-5\right)\left(5x+11\right)=0\) (1)

Dễ thấy có nghiệm \(x=5\), thử lại thỏa mãn.

Với \(x\ne5\), chia cả 2 vế cho \(\left(x-5\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{5}{\sqrt{5x+11}+6}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+5x+11=0\) (2)

Vế trái của (2) luôn lớn hơn 0 với mọi \(x\ge\frac{-11}{5}\)

Vậy \(x=5\)

Nhân 3 vào 2 vế:

\(15x^2+15y^2+18xy-60x-60y+72=0\)

\(\Leftrightarrow9\left(x^2+2xy+y^2\right)-60\left(x+y\right)+100+6\left(x^2+y^2\right)=28\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+3y-10\right)^2+6\left(x^2+y^2\right)=28\)

Thử lần lượt \(\left(3x+3y-10\right)^2\) với các giá trị 0, 4, 16 là các số chính phương chẵn nhỏ hơn 28 thì tìm được \(x=y=1\). (Dễ thấy \(\left(3x+3y-10\right)^2\) chia hết cho 2 nha)

Vậy ......

Đặt \(M=\overline{xyztu};N=\overline{abcde}\).

Theo bài ra: \(M:N=\overline{xyztu}:\overline{abcde}=2k\left(k\in N,k>0\right)\)

Trước hết, ta có \(x\ne0;a\le3\).Vì nếu \(a\ge5\) thì M có 6 chữ số (ko t/m)

Vì 1 trong các chữ cái b,c,d,e nhận giá trị 9 nên ta giả sử e=9

Khi đó, u = 8 và:

t = (2.d+1 ) nếu 2.d < 10

t = (2.d + 1) - 10 nếu 2.d > 10

Rõ ràng ở trường hợp nào t cũng lẻ, trong khi các chữ số của M đều chẵn. Vậy không tồn tại các số nguyên M, N thỏa mãn.

Giải hệ đầu tiên:

\(\left\{{}\begin{matrix}4x^2y-xy^2=5\\64x^3-y^3=61\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\left(4x-y\right)=5\\\left(4x-y\right)\left(16x^2+4xy+y^2\right)=61\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow5\left(4x-y\right)\left(16x^2+4xy+y^2\right)-61xy\left(4x-y\right)=0\)

Hiển nhiên \(4x-y\ne0\) nên ta chia cả 2 vế cho \(\left(4x-y\right)\)

\(\Leftrightarrow80x^2-41xy+5y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(16x-5y\right)\left(5x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\frac{16}{5}x\\y=5x\end{matrix}\right.\) Lần lượt thay vào (1) để tìm x.

\(3x^2-14\left|x\right|-5=0\Leftrightarrow\left(\left|x\right|-5\right)\left(3\left|x\right|+1\right)\)\(=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|x\right|=5\\\left|x\right|=-\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=\pm5\)

Ví dụ khác với đáp án bằng 90, ta có quy luật sau:

2 = 2.(1+2) = 2.3 = 6

3 = 2.(3+3) = 2.6 = 12

4 = 2.(6+4) = 2.10 = 20

5 = 2.(10+5) = 2.15 = 30

6 = 2.(15+6) = 2.21 = 42

7 = 2.(21+7) = 2.28 = 56

8 = 2.(28+8) = 2.36 = 72

9 = 2.(36+9) = 90

Chữ số in nghiêng thì giống với số đầu tiên, chữ số in đậm không nghiêng thì với số ở phép tính trên. Để ý kĩ thì thấy.

Ví dụ thế, mấy cái này gần như giống nhau. Vẫn bắt nguồn từ quy luật \(n=n\left(n+1\right)\) mà ra

Thật ra không chỉ có 1 đáp án đâu, biết đâu đây là hỏi ngu :)

Có thể 9=9

Hoặc có thể 9=1001

Biết đâu đấy.

Cho nên 9 = 90 chỉ là đáp án của 1 số người thôi.

"Biết đáp án bằng 90" thì hơi quá

\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng với x, y không âm

BĐT chỉ đúng khi x, y không âm.

Dấu bằng xảy ra khi x = y

Có một cách khác khó nghĩ hơn:

Từ pt ban đầu, ta có:

\(9x^2+6x\left(y-1\right)+\left(y-1\right)^2+2y^2+4y+2=38\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+y-1\right)^2+2\left(y+1\right)^2=38\)

x, y nguyên nên "dễ" để tìm ra các cặp số thỏa mãn như sau:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(3x+y-1\right)^2=36\\2\left(y+1\right)^2=2\end{matrix}\right.\)

Từ đó suy ra \(y=\pm1\), và từ đó suy ra x

\(a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\) \(\left(a^2\le1;b^2\le1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-a^2}\right)=a^2-b^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-a^2}=a+b\) (Vì \(a\ne b\)) (\(a+b\ge0\)) (1)

\(\Leftrightarrow2-a^2-b^2+2\sqrt{a^2b^2-a^2-b^2+1}=a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2b^2-a^2-b^2+1}=a^2+b^2+ab-1\) (\(a^2+ab+b^2\ge1\))

\(\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1=a^4+b^4+3a^2b^2+2a^3b+2ab^3-2a^2-2b^2-2ab+1\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4+2a^3b+2a^2b^2+2ab^3+b^4\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-1\right)=0\)

Đến đây làm thế nào tiếp thì tui chịu.

Nếu \(a+b=0\) thì thay vào (1), ta được a=1;b=-1 hoặc ngược lại. Nhưng thay nghiệm vào phương trình đầu thì không thỏa mãn.

Nếu \(a^2+b^2=1\) thì phương trình chỉ đúng với \(a\ge0;b\ge0\) hoặc \(a\le0;b\le0\).

Bạn hãy chứng minh \(\widehat{AIB}=60^0\), từ đó I di chuyển trên cung chứa góc \(60^0\) nhìn cạnh AB, trên cùng nửa mặt phẳng chứa M bờ AB

Thay vì cách làm dài bình phương 2 vế, ta có cách ngắn hơn như sau: ĐK: \(x\ge-3;9x^2-x-4\ge0\)

Phương trình tương đương:

\(9x^2=x+3+2\sqrt{x+3}+1=\left(\sqrt{x+3}+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=\sqrt{x+3}+1\\3x=-\left(\sqrt{x+3}+1\right)\end{matrix}\right.\). Đặt \(\sqrt{x+3}=a\ge0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3a^2-a-10=0\\3a^2+a-8=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2\\a=\frac{-5}{3}\\a=...\\a=...\end{matrix}\right.\)

Từ đó suy ra x

Phương trình tương đương:

\(\left(x^2+4x+3\right)\left(x^2+4x-5\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left(a+3\right)\left(a-5\right)-m=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a-15-m=0\) (1) với \(a=x^2+4x\)

Để phương trình ẩn x có 4 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần của phương trình ẩn a là phải có 2 nghiệm phân biệt.

\(\Delta'_{\left(1\right)}=1+15+m=16+m>0\) \(\Rightarrow m>-16\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2+\sqrt{16+m}\\a=2-\sqrt{16+m}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+4x-2-\sqrt{16+m}=0\left(2\right)\\x^2+4x-2+\sqrt{16+m}=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Dễ thấy (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m, (3) có 2 nghiệm phân biệt khi \(m< 0\). (Xét denta)

Nghiệm của chúng lần lượt là:

\(\left[{}\begin{matrix}x=2+\sqrt{4+\sqrt{16+m}}\\x=2-\sqrt{4+\sqrt{16+m}}\\x=2+\sqrt{4-\sqrt{16+m}}\\x=2-\sqrt{4-\sqrt{16+m}}\end{matrix}\right.\). 4 nghiệm này luôn phân biệt với \(-16< m< 0\)

Lần lượt thay nghiệm vào điều kiện:

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=-1\)

Ta được phương trình vô nghiệm. Vậy không tìm nổi m :V

\(P=b^2+ba+bc+ac=b\left(a+b+c\right)+ac=\frac{b}{abc}+ac=\frac{1}{ac}+ac\)

\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{ac}.ac}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=\frac{1}{abc}\\ac=1\end{matrix}\right.\)

PT \(\Leftrightarrow4x^2-4x-8-4\sqrt{x^2-x}=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(x^2-x\right)-4\sqrt{x^2-x}+1=9\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x^2-x}-1\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x^2-x}-1=3\\2\sqrt{x^2-x}-1=-3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-x}=4\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-4=0\) (ĐKXĐ: \(x>1;x< 0\))

\(\Leftrightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}\) (t/m)

\(A=\frac{\left(x^2+6x+9\right)+\left(4x+12\right)+5}{\left(x+3\right)^2}=1+\frac{4}{x+3}+\frac{5}{\left(x+3\right)^2}\)

Đặt \(\frac{1}{x+3}=a\), ta có: \(A=5a^2+4a+1\)

\(A=\left(\sqrt{5}a+\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2+\frac{1}{5}\ge\frac{1}{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=-\frac{2}{5}\) \(\Leftrightarrow x=-\frac{11}{2}\)

Điều kiện là \(x\ge3\) nha bạn Lộc. Do đó chỉ có x = 5 thôi

Xét m = 0, ta có: x = 1; y = 0 (không thỏa mãn)

Xét \(m\ne0\), để hệ vô nghiệm thì:

\(\frac{1}{m}=\frac{m}{-1}\ne\frac{1}{-m}\). Điều này không thể xảy ra nên hệ luôn có nghiệm. Dễ tìm được nghiệm của hệ là:

\(x=\frac{1-m^2}{m^2+1};y=\frac{2m}{m^2+1}\)

Để \(x< 1;y< 1\) thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1-m^2}{m^2+1}< 1\\\frac{2m}{m^2+1}< 1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m>1\)

Vậy ....

Ta có: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwaz

\(A=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{3xy}+\frac{1}{3yz}+\frac{1}{3zx}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)

\(A\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+yz\right)}+\frac{2}{3}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+yz+zx}\)

\(A\ge\frac{16}{\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}+\frac{2}{3}.\frac{9}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{12}{a^2}+\frac{18}{a^2}=\frac{30}{a^2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = \(\frac{a}{3}\)

GTNN của A phụ thuộc vào x + y + z = a của bạn, mặc dù đề bài có thiếu x + y + z bằng mấy :>

Nhầm, đổi 1+y thành 1+x²

Cho tui hỏi pt trình đầu đã đúng chưa ạ

Có phải sửa 1+y thành 1+x⁷ ko, tui thấy quy luật hơi sai

a) Tứ giác ACPI nội tiếp nên \(\widehat{CPI}=180^0-\widehat{CAI}=90^0\)

Tứ giác CPKB có tổng 2 góc đối nhau bằng 180⁰

(\(\widehat{CBK}+\widehat{CPK}=90^0+90^0=180^0\))

Suy ra đpcm.

b) \(\widehat{ACI}=\widehat{BKC}=90^0-\widehat{BCK;}\widehat{CAI}=\widehat{BKC}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\Delta IAC~\Delta CBK\left(g.g\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{IA}{CB}=\frac{AC}{BK}\) Suy ra đpcm.

c) Dễ thấy:

\(\widehat{APB}=\widehat{APC}+\widehat{BPC}=\widehat{AIC}+\widehat{CKB}=\widehat{AIC}+\widehat{ACI}=90^0\)

Do đó tam giác APB vuông tại P.

d) Ta có: \(BK=\frac{AC.BC}{AI}\le\frac{\frac{\left(AC+BC\right)^2}{4}}{AI}=\frac{AB^2}{4AI}=const\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi AC = BC.

Ta có: \(S_{ABKI}=\frac{1}{2}.AB.\left(AI+BK\right)\le\frac{1}{2}AB.\left(AI+\frac{AB^2}{4AI}\right)\)

Diện tích ABKI lớn nhất khi C là trung điểm AB.

ĐKXĐ: \(x\le6;y\ge3\)

\(x^2+2y=xy+4\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-y+2\right)=0\)

✽Với \(x=2\):

Thay vào phương trình thứ 2, rút gọn ta được:

\(\left(y-3\right)\sqrt{y-3}=1\Leftrightarrow y-3=1\Leftrightarrow y=4\) (t/m)

✽Với \(y=x+2\) ta có:

\(x^2-x+3-x\sqrt{6-x}=\left(x-1\right)\sqrt{x-1}\) \(\left(1\le x\le6\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2-2x+6-2x\sqrt{6-x}-2\left(x-1\right)\sqrt{x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x\sqrt{6-x}+6-x\right)+\left(x^2-2x+1-2\left(x-1\right)\sqrt{x-1}+x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{6-x}\right)^2+\left(x-1-\sqrt{x-1}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{6-x}\\x-1=\sqrt{x-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=2\), suy ra \(y=4\)

Vậy...