Luyện tập chung trang 96

Hướng dẫn giải

Vì A' và B' là hai điểm lần lượt đối xứng với A và B qua (O) nên OA = OA', OB = OB'.

Mà dây AB không qua tâm của đường tròn (O) nên OA = OB (đều là bán kính của đường tròn (O)).

Suy ra OA = OA' = OB = OB'.

Do đó, O thuộc đường trung trực của A'B'.

Vậy đường trung trực của A'B' là một trục đối xứng của (O).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Gọi trung điểm của BC là O.

Tam giác vuông BKC có KO là đường trung tuyến KO ứng với cạnh huyền BC nên

KO = OB = OC hay B, K, C thuộc đường tròn tâm O đường kính BC.          (1)

Tam giác BHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

HO = BO = OB hay B, H, C thuộc được đường tròn tâm O đường kính BC.   (2)

Từ (1) và (2) ta có K, H thuộc đường tròn tâm O đường kính BC.

Vậy đường tròn đường kính BC đi qua các điểm H và K.

b) Đường tròn tâm O có BC là đường kính và KH là dây không qua tâm O.

Do đó KH < BC.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Tam giác OAB có OA = OB nên tam giác OAB cân tại O

Mà OH là đường cao nên OH cũng là đường trung trực của AB hay H là trung điểm của AB

Do đó \(AH = HB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.4 = 2\) m

Xét đường tròn tâm O bán kính R nên ta có \(OH = OC - HC = R - 0,5\) m

Tam giác OAH vuông tại H nên ta có: \(O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}\) (Định lý Pythagore)

Thay số ta có: \({R^2} = {\left( {R - 0,5} \right)^2} + {2^2}\) hay \({R^2} = {R^2} - R + 0,25 + 4\) suy ra \(R = 4,25\) m

Vậy bán kính của guồng nước là 4,25 m.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Vẽ bán kính OM của đường tròn, trên OM lấy điểm H sao cho OH = 2,5 cm. Kẻ đoạn thẳng AB vuông góc với OH tại H, cắt đường tròn tại A và B ta được dây cung AB cần vẽ.

b) Gọi H là trung điểm của AB.

Xét tam giác OAH và tam giác OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

\(\widehat {OHA} = \widehat {OHB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta OAH = \Delta OBH\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow AH = BH\)(hai cạnh tương ứng) \( \Rightarrow AB = 2AH\)

Xét tam giác OAH vuông tại H có: \(A{H^2} + O{H^2} = O{A^2}\)(định lý Pythagore)

hay \(A{H^2} = O{A^2} - O{H^2} = {5^2} - 2,{5^2} = 18,75 \Rightarrow AH = \frac{5\sqrt 3}{2} \)(cm)

\( \Rightarrow AB = 2.\frac{5\sqrt 3}{2}  = 5\sqrt 3 \approx 8,66\)(cm)

c) Xét tam giác OAH vuông tại H có: \(\cos \widehat {AOH} = \frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{2,5}}{5} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {AOH} = 60^\circ \)

Mà: \(\Delta OAH = \Delta OBH\)\( \Rightarrow \widehat {BOH} = \widehat {AOH} = 60^\circ \)(hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {BOH} + \widehat {AOH} = 60^\circ  + 60^\circ  = 120^\circ \)

\( \Rightarrow \) sđ\(\overset\frown{AB}=120{}^\circ \)

Độ dài cung AB là: \(\frac{{120}}{{180}}.\pi .5 = \frac{{10}}{3}\pi \)(cm)

d) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB là: \(\frac{{{\rm{120}}}}{{{\rm{360}}}}{\rm{.\pi }}{\rm{.5^2 = }}\frac{{\rm{25\pi }}}{{{\rm{3}}}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Chu vi một vòng chiếc líp là: \(2.\pi .4 = 8\pi \) (cm)

Bán kính tỉ lệ nghịch với số vòng quay được của líp và giò đĩa.

Khi đạp 1 vòng thì bánh xe (hoặc líp) quay được số vòng là: \(15:4 = \frac{{15}}{4}\) (vòng)

Chu vi của bánh xe (đường kính 65cm = 0,65m) là: \(0,65.\pi \) (m)

Khi người đi xe đạp một vòng thì xe chạy được quãng đường là: \(0,65.\pi .\frac{{15}}{4} = \frac{39}{16}\pi \approx 7,7 \) (m) 

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Gọi O là trung điểm của BC

Vì OB = OD nên tam giác OBD là tam giác cân tại O

Mà \(\widehat {{\rm{OBD}}} = 60^\circ \)(do tam giác ABC đều)

Suy ra tam giác OBD đều.

Do đó: \(\widehat {{\rm{BOD}}} = 60^\circ \)

Tương tự ta có: \(\widehat {{\rm{COE}}} = 60^\circ \)

Lại có: \(\widehat {{\rm{BOD}}} + \widehat {{\rm{DOE}}} + \widehat {{\rm{COE}}} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {{\rm{DOE}}} = 60^\circ \)

Khi đó: \(\widehat {{\rm{BOD}}} = \widehat {{\rm{COE}}} = \widehat {{\rm{DOE}}} = 60^\circ \)

Hay sđ\(\overset\frown{BD}=\) sđ\(\overset\frown{CE}=\) sđ\(\overset\frown{DE}=60{}^\circ \)

b) Đường tròn (O) có bán kính \(OA = \frac{{AB}}{2} = \frac{{{\rm{2}}\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \)(cm)

\(S_q = \frac{60}{360}.\pi.(\sqrt{3})^2 = \frac{\pi}{2} (cm^2) \)

Kẻ \(DH \bot OB\), tam giác OBD đều nên DH cũng là đường trung tuyến, suy ra H là trung điểm của OB.

Suy ra \( OH = \frac{OB}{2} = \frac{\sqrt 3}{2}\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ODH, ta có:

\(DH = \sqrt{OD^2-OH^2} = \sqrt{3 - \left({\frac{\sqrt3}{2}}\right)^2} = \frac{3}{2}\)

Diện tích tam giác OBD là:

\(S_{\Delta OBD} = \frac{DH.OB}{2} = \frac{3.\sqrt3}{2.2} = \frac{3\sqrt3}{4}\) 

Diện tích hình viên phân là:

\(S_{vp} = S_q - S_{\Delta OBD} = \frac{\pi}{2} - \frac{3\sqrt3}{4} \approx 0,27 (cm^2)\)

(Trả lời bởi datcoder)