Một nhóm tình nguyện viên gồm 4 học sinh lớp 10A, 5 học sinh lớp 10B và 6 học sinh lớp 10C. Để tham gia một công việc tình nguyện, nhóm có bao nhiêu cách cử ra
a) 1 thành viên của nhóm?
b) 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau?
c) 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau?
Một khóa số có 3 vòng số (mỗi vòng gồm 10 số, từ 0 đến 9) như hình 1. Người dùng cần đặt mật mã cho khóa là một dãy số có 3 chữ số. Để mở khóa cần xoay các vòng số để dãy số phía trước trùng với mật mã đã chọn. Có bao nhiêu cách chọn mật mã cho khóa?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiMỗi cách chọn 1 chữ số cho mật mã là 1 trong 10 cách chọn các chữ số từ 0 đến 9. Vậy có tổng cả 10 cách chọn cho mỗi chữ số
Dãy mật mã có 3 chữ số nên có \({10^3}\) cách chọn mật mã cho khóa
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Từ 6 thẻ số như hình 2, có thể ghép để tạo thành bao nhiêu
a) số tự nhiên có 6 chữ số?
b) Số tự nhiên lẻ có 6 chữ số
c) Số tự nhiên có 5 chữ số
d) Số tự nhiên có 5 chữ số lớn hơn 50 000?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số được tạo ra từ 6 thẻ số trên là mỗi cách sắp xếp 6 tấm thẻ số
Vậy có \(6!\) số tự nhiên có 6 chữ số được tạo thành từ 6 tấm thẻ số đã cho
b) Để số tạo thành là số lẻ thì chữ số tận cùng là chữ số lẻ (1, 3, 5) có 3 cách chọn
Sắp xếp 5 chữ số còn lại có \(5!\) cách
Áp dụng quy tắc nhân, ta có \(3.5!\) số lẻ có 6 chữ số được tạo thành từ 6 tấm thẻ số
c) Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số được tạo thành từ 6 thẻ số là mỗi cách chọn 5 tấm thẻ và sắp xếp chúng.
Vậy có \(A_6^5\) số có 5 chữ số được tạo thành từ 6 thẻ số đã cho
d) Để số tạo thành lớn hơn 50 000 thì chữ số đầu tiên phải là 6 hoặc 5
Sắp xếp 4 chữ số còn lại có \(A_5^4\) cách
Vậy có \(2.A_5^4\) số có 5 chữ số được tạo ra từ 6 thẻ số đã cho và lớn hơn 50 000
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Từ 6 thẻ số như hình 2, có thể ghép để tạo thành bao nhiêu
a) số tự nhiên có 6 chữ số?
b) Số tự nhiên lẻ có 6 chữ số
c) Số tự nhiên có 5 chữ số
d) Số tự nhiên có 5 chữ số lớn hơn 50 000?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiĐể chọn được bữa cơm đủ món theo yêu cầu cần thực hiện 3 công đoạn
Công đoạn 1: Chọn 2 món mặn từ 6 món mặn có \(C_6^2\) cách
Công đoạn 2: Chọn 2 món rau từ 5 món có \(C_5^2\) cách
Công đoạn 3: Chọn 1 món canh từ 3 món canh có 3 cách
Áp dụng quy tắc nhân, ta có \(3.C_5^2.C_6^2 = 450\) cách chọn bữa cơm gồm cơm, 2 món mặn, 2 món rau và 1 món canh
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Cho 9 điểm nằm trên hai đường thẳng song song như hình 3. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là ba điểm trong các điểm đã cho?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiCách 1:
TH 1: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng có 4 điểm
Chọn 2 điểm từ đường thẳng trên có \(C_4^2\) cách
Chọn 1 điểm từ đường thẳng còn lại có 5 cách
=> Số tam giác tạo thành là \(5.C_4^2 = 30\)
TH 2: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng có 5 điểm
Chọn 2 điểm từ đường thẳng dưới có \(C_5^2\) cách
Chọn 1 điểm từ đường thẳng còn lại có 4 cách
=> Số tam giác tạo thành là \(4.C_5^2 = 40\)
Vậy có tất cả 70 tam giác được tạo thành.
Cách 2:
Số cách chọn 3 điểm bất kì là: \(C_9^3 = 84\) cách
Số cách chọn 3 điểm thẳng hàng là: \(C_4^3 +C_5^3 =14 \) cách
=> Số cách chọn 3 điểm không thẳng hàng là: 84 - 14 = 70 (cách)
Do đó ta có thể có 70 tam giác.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Khai triển các biểu thức:
a) \({\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^4}\)
b) \({\left( {2{x^2} + 1} \right)^5}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^4} = C_4^0.{a^4}{\left( { - \frac{b}{2}} \right)^0} + C_4^1.{a^3}\left( { - \frac{b}{2}} \right) + C_4^2.{a^2}{\left( { - \frac{b}{2}} \right)^2} + C_4^3.a{\left( { - \frac{b}{2}} \right)^3} + C_4^4.{a^0}{\left( { - \frac{b}{2}} \right)^4}\\ = {a^4} - 2{a^3}b + \frac{3}{2}{a^2}{b^2} - \frac{1}{2}a{b^3} + \frac{1}{16}{b^4}\end{array}\)
b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {2{x^2} + 1} \right)^5} = C_5^0.{\left( {2{x^2}} \right)^5}{.1^0} + C_5^1.{\left( {2{x^2}} \right)^4}.1 + C_5^2.{\left( {2{x^2}} \right)^3}{.1^2} + C_5^3.{\left( {2{x^2}} \right)^2}{.1^3} + C_5^4.\left( {2{x^2}} \right){.1^4} +C_5^5.{\left( {2{x^2}} \right)^0} {.1^5}\\ = 32{x^{10}} + 80{x^8} + 80{x^6} + 40{x^4} + 10{x^2} + 1\end{array}\).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Hãy khai triển và rút gọn biểu thức
\({\left( {1 + x} \right)^4} + {\left( {1 - x} \right)^4}\)
Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng biểu thức \(1,{05^4} + 0,{95^4}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^4} = {1^4} + C_4^1{.1^3}x + C_4^2{.1^2}{x^2} + C_4^3.1{x^3} + C_4^4{x^4}\\ = 1 + 4x + 6{x^2} + 4{x^3} + {x^4}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{\left( {1 - x} \right)^4} = {1^4} + C_4^1{.1^3}\left( { - x} \right) + C_4^2{.1^2}{\left( { - x} \right)^2} + C_4^3.1{\left( { - x} \right)^3} + C_4^4{\left( { - x} \right)^4}\\ = 1 - 4x + 6{x^2} - 4{x^3} + {x^4}\end{array}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^4} + {\left( {1 - x} \right)^4} = 1 + 4x + 6{x^2} + 4{x^3} + {x^4} + 1 - 4x + 6{x^2} - 4{x^3} + {x^4}\\ = 2 + 12{x^2} + 2{x^4}\end{array}\)
Vậy \({\left( {1 + x} \right)^4} + {\left( {1 - x} \right)^4} = 2 + 12{x^2} + 2{x^4}\)
Ta có: \(1,{05^4} + 0,{95^4} = {\left( {1 + 0,05} \right)^4} + {\left( {1 - 0,05} \right)^4}\)
Áp dụng biểu thức vừa chứng minh \({\left( {1 + x} \right)^4} + {\left( {1 - x} \right)^4} = 2 + 12{x^2} + 2{x^4}\)
ta có: \(1,{05^4} + 0,{95^4} = {\left( {1 + 0,05} \right)^4} + {\left( {1 - 0,05} \right)^4} = 2 + 12.0,0{5^2} + 2.0,0{5^4}\\ = 2,0300125\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)