Tìm các căn bậc hai phức của các số sau : \(-7;-8;-12;-20;-121\) ?
Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực
Bài 1 (SGK trang 140)
Thảo luận (1)
Bài 2 (SGK trang 140)
Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức :
a) \(-3z^2+2z-1=0\)
b) \(z^4+7z^2+10=0\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có ∆' = 1 - 3 = -2.
Vậy nghiệm của phương trình là z1,2 =
b) Ta có ∆ = 9 - 56 = -47.
Vậy nghiệm của phương trình là z1,2 =
;
c) Ta có ∆ = 49 - 4.5.11 = -171.
Vậy nghiệm của phương trình là z1,2 =
(Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)
Bài 3 (SGK trang 140)
Giải các phương trình sau trên tập hơn số phức :
a) \(z^4+z^2-6=0\)
b) \(z^4+7z^2+10=0\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Đặt Z = z2 , ta được phương trình Z2 + Z – 6 = 0
Phương trình này có hai nghiệm là Z1 = 2, Z2 = -3
Vậy phương trình có bốn nghiệm là ± √2 và ± i√3.
b) Đặt Z = z2 , ta được phương trình Z2 + 7Z + 10 = 0
Phương trình này có hai nghiệm là Z1 = -5, Z2 = -2
Vậy phương trình có bốn nghiệm là ± i√2 và ± i√5.
(Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)
Bài 4 (SGK trang 140)
Cho \(a,b,c\in R;a\ne0;z_1,z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(az^2+bz+c=0\)
Hãy tính \(z_1+z_2\) và \(z_1.z_2\) theo các hệ số a, b, c ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTrường hợp ∆ ≥ 0 ta đã biết kết quả.
Xét trường hợp ∆ < 0, từ công thức nghiệm
z1 =
, z2 =
với |∆| = 4ac - b2
z1 + z2 =
z1 z2 =
(Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)
Bài 5 (SGK trang 140)
Cho \(z=a+bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thức nhận \(z\) và \(\overline{z}\) làm nghiệm ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiMột phương trình bậc hai nhận z và
làm nghiệm là
(x - z)(x -
Nếu z = a + bi thì z +
Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là x2 – 2ax + a2 + b2 = 0
(Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)
Bài 4.25 (Sách bài tập trang 209)
Chứng minh rằng số thực \(a< 0\) chỉ có hai phức là \(\pm\sqrt{\left|a\right|}\) ?
Bài 4.26 (Sách bài tập trang 210)
Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) \(2x^2+3x+4=0\)
b) \(3x^2+2x+7=0\)
c) \(x^4+3x^2-5=0\)
Bài 4.27 (Sách bài tập trang 210)
Biết \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(2x^2+\sqrt{3}x+3=0\)
Hãy tính :
a) \(z^2_1+z^2_2\)
b) \(z^3_1+z^3_2\)
c) \(z^4_1+z^4_2\)
d) \(\dfrac{z_1}{z_2}+\dfrac{z_2}{z_1}\)
Bài 4.28 (Sách bài tập trang 210)
Chứng minh rằng hai số phức liên hợp \(z\) và \(\overline{z}\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực ?
Bài 4.29 (Sách bài tập trang 210)
Lập phương trình bậc hai có nghiệm là :
a) \(1+i\sqrt{2}\) và \(1-i\sqrt{2}\)
b) \(\sqrt{3}+2i\) và \(\sqrt{3}-2i\)
c) \(-\sqrt{3}+i\sqrt{2}\) và \(-\sqrt{3}-i\sqrt{2}\)
Thảo luận (2)Hướng dẫn giảia) ta có : \(\left(1+i\sqrt{2}\right).\left(1-i\sqrt{2}\right)=1-\left(i\sqrt{2}\right)^2=1+2=3\)
và \(\left(1+i\sqrt{2}\right)+\left(1-i\sqrt{2}\right)=2\)
\(\Rightarrow1+i\sqrt{2}\) và \(1-i\sqrt{2}\) là nghiệm của hệ \(x^2-2x+3=0\)
b) ta có : \(\left(\sqrt{3}+2i\right).\left(\sqrt{3}-2i\right)=3-\left(2i\right)^2=3+4=7\)
và \(\left(\sqrt{3}+2i\right)+\left(\sqrt{3}-2i\right)=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}+2i\) và \(\sqrt{3}-2i\) là nghiệm của hệ \(x^2-2\sqrt{3}x+7=0\)
c) ta có : \(\left(-\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right).\left(-\sqrt{3}-i\sqrt{2}\right)=3-\left(i\sqrt{2}\right)^2=3+2=5\)
và \(\left(-\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)+\left(-\sqrt{3}-i\sqrt{2}\right)=-2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow-\sqrt{3}+i\sqrt{2}\) và \(-\sqrt{3}-i\sqrt{2}\) là nghiệm của hệ \(x^2+2\sqrt{3}x+5=0\)
(Trả lời bởi Mysterious Person)