Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Hướng dẫn giải

a) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)

 - Chiều biến thiên:

\(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Trên các khoảng (\( - \infty \); 0), (2; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (0; 2) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

- Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} =  - \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{x^2} - x}} = 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} - x) =  - 1\) nên y = x - 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} =  - \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

- Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -2 nên (0;-2) là giao điểm của y với trục Oy

b) \(y = 2x - \frac{1}{{1 - 2x}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ \frac{1}{2}\} \)

- Chiều biến thiên:

\(y' = 2 - \frac{2}{{{{(1 - 2x)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Trên các khoảng (\( - \infty \); 0), (1; \( + \infty \)) thì y' > 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (0; \(\frac{1}{2}\)) và (\(\frac{1}{2}\); 1) thì y' < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

- Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (2x - \frac{1}{{1 - 2x}}) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (2x - \frac{1}{{1 - 2x}}) =  - \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (2 - \frac{1}{{x - 2{x^2}}}) = 2;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (2x - \frac{1}{{1 - 2x}} - 2x) = 0\) nên y = 2x  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} (2x - \frac{1}{{1 - 2x}}) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} (2x - \frac{1}{{1 - 2x}}) =  - \infty \) nên x = \(\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

- Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -1 nên (0;-1) là giao điểm của y với trục Oy

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - 2\} \)

- Chiều biến thiên:

\(y' = \frac{{ - {x^2} - 4x + 5}}{{{{(x + 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 5\\x = 1\end{array} \right.\)

Trên các khoảng (\( - \infty \); -5), (1; \( + \infty \)) thì y' > 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-5; -2) và (-2;1) thì y' < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

- Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} =  + \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{{x^2} + 2x}} =  - 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} + x) = 5\) nên y = -x  + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} =  + \infty \) nên x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

- Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = \(\frac{1}{2}\) nên (0; \(\frac{1}{2}\)) là giao điểm của y với trục Oy

b) Hàm số đạt cực tiểu tại x = -5 và \({y_{ct}} = 13\)

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và \({y_{cd}} = 1\)

Trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có tọa độ là \((\frac{{ - 5 + 1}}{2};\frac{{13 + 1}}{2}) = ( - 2;7)\). Điểm này là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Chiều cao của hộp sau khi cắt là: x

Chiều dài của hộp sau khi cắt là: 6 – 2x

Chiều rộng của hộp sau khi cắt là: 6 – 2x

Thể tích của hộp là: \(V(x) = x{(6 - 2x)^2} = 4{x^3} - 24{x^2} + 36x\)

b) Tập xác định: \(D = (0;3)\)

 - Chiều biến thiên:

\(V'(x) = 12{x^2} - 48x + 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Trên các khoảng (0; 1), (3; \( + \infty \)) thì V'(x) > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (1; 3) thì V'(x) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và \({y_{cd}} = 16\)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{ct}} = 0\)

Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì V(x) = 0 nên (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: \(V(x) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 24{x^2} + 36x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (0; 0) và (3; 0)

Vì 0 < x < 3 (vì ở mỗi cạnh đều cắt đi 2 đầu nên nếu x \( \ge \) 3 thì bạn Việt phải cắt hết tấm bìa. Do đó, bạn Việt nên cắt đi 4 hình vuông ở góc có cạnh bằng 1dm để thể tích của hộp đạt giá trị lớn nhất là 16\(d{m^3}\). 

(Trả lời bởi datcoder)