Câu 1 :
a)
\(14,58.460+7,29.540.2\)
\(=14,58.460+14,58.540\)
\(=14,58.\left(460+540\right)\)
\(=14,58.1000\)
\(=14580\)
b)
\(200-198+196-194+....+4-2\)
\(=\left(200-198\right)+\left(196-194\right)+....+\left(4-2\right)\)
\(=2+2+....+2\)
\(=2.50\)
=100
c)
\(\frac{2010.2009-1}{2008.2010+2009}:\frac{1}{1999}\)
\(=\frac{2010.\left(2008+1\right)-1}{2008.2010+2009}:\frac{1}{1999}\)
\(=\frac{2010.2008+2010-1}{2008.2010+2009}:\frac{1}{1999}\)
\(=\frac{2010.2008+2019}{2008.2010+2009}:\frac{1}{1999}\)
\(=1:\frac{1}{1999}\)
=1999
Câu 2 :
Đặt \(\begin{cases}B=1000^{1000}\\C=1000^1+1000^2+.....+1000^{1000}\end{cases}\)
=> B < A < C (1)
(+) Xét B :
B = 1000...00 ( 3001 chữ số ) (2)
Xét C :
C=100100100...1000 ( 3001 chữ số ) (3)
Từ (1) ; (2) và (3)
=> Ba chữ số đầu tiền của A từ trái sang là 100
b)
Ta có :
\(\frac{2009^{2009}}{2009^{2010}}=\frac{2009^{2010}}{2009^{2011}}=\frac{1}{2009}\)
Mà \(\begin{cases}\frac{2009^{2009}}{2009^{2010}}< \frac{2009^{2009}+1}{2009^{2010}+1}\\\frac{2009^{2010}}{2009^{2011}}>\frac{2009^{2010}-2}{2009^{2011}-2}\end{cases}\)
=> \(\frac{2009^{2009}+1}{2009^{2010}+1}>\frac{2009^{2010}-2}{2009^{2011}-2}\)
Câu 3 :
a)
Ta có :
\(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{\left(a-c\right)-\left(a-b\right)}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}=\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a-c}=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}\)
Tương tự được \(\begin{cases}\frac{c-a}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}=\frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b}\\\frac{a-b}{\left(c-b\right)\left(c-a\right)}=\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}\end{cases}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)=2013\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}=\frac{2013}{2}\)
b)
Ta có :
\(\frac{3x-2y}{4}=\frac{2z-4x}{3}=\frac{4y-3z}{2}\)
Câu 4 :
a)
Ta có :
\(\begin{cases}\left|x+\frac{1}{1.3}\right|\ge0\\\left|x+\frac{1}{3.5}\right|\ge0\\...\\\left|x+\frac{1}{97.99}\right|\ge0\end{cases}\)\(\forall x\)
=> x \(\ge0\)
=> \(\begin{cases}\left|x+\frac{1}{1.3}\right|=x+\frac{1}{1.3}\\\left|x+\frac{1}{3.5}\right|=\frac{1}{x+3.5}\\...\\\left|x+\frac{1}{97.99}\right|=x+\frac{1}{97.99}\end{cases}\)
\(\Rightarrow x+x+....+x+\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+.....+\frac{1}{97.99}=51x\)
\(\Rightarrow49x+1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+....+\frac{1}{97}-\frac{1}{99}=51x\)
\(\Rightarrow49x+1-\frac{1}{99}=51x\)
\(\Rightarrow\frac{98}{99}=2x\)
\(\Rightarrow x=\frac{48}{99}\)
Vậy x = 48 / 99
b)
Ta có :
\(\frac{3x-2y}{4}=\frac{2z-4x}{3}=\frac{4y-3z}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(3x-2y\right).4}{16}=\frac{\left(2z-4x\right).3}{9}=\frac{\left(4y-3z\right).2}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{12x-8y}{16}=\frac{6z-12x}{9}=\frac{8y-6z}{4}\)
Áp dụng tc của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{12x-8y}{16}=\frac{6z-12x}{9}=\frac{8y-6z}{2}=\frac{12x-8y+6z-12x+8y-6z}{16+9+2}=\frac{0}{6+9+2}=0\)
\(\Rightarrow\frac{3x-2y}{4}=\frac{2z-4x}{3}=\frac{4y-3z}{2}=0\)
\(\Rightarrow\begin{cases}3x-2y=0\\2z-4x=0\\4y-3z=0\end{cases}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}3x=2y\\2z=4x\\4y=3z\end{cases}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}6x=4y\\2z=4x\\4y=3z\end{cases}\)
\(\Rightarrow6x=4y=3z\)
\(\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\)
Câu 4 :
Gọi 3 số cần tìm lần lượt là a ; b ; c .
Theo đề ra ta có :
\(a.15=b.10=c.6\)
\(\Rightarrow\frac{15a}{30}=\frac{10b}{30}=\frac{6c}{30}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{b}{2}=\frac{c}{5}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}a=2k\\b=3k\\c=5k\end{cases}\)
Mà BCNN(2k;3k;5k)=1680
Mặt khác 2 ; 3 ; 5 từng đôi 1 nguyên tố cùng nhau .
=> 30 k = 1680
=> k = 56
=> \(\begin{cases}a=112\\b=168\\c=280\end{cases}\)
b)
Trên CE lấy F sao cho AB=BF (1)
=> \(\Delta ABF\) cân tại F
\(\Rightarrow\widehat{BFA}=\widehat{BAF}=\frac{180^0-40^0}{2}=70^0\)
Có : \(\widehat{ACF}\) là góc ngoài của tam giác ABC
\(\Rightarrow\widehat{ACF}=30^0+40^0=70^0\)
=> \(\Delta ACF\) cân tại A
=> AC = AF (2)
Vì AD là tia phân giác của góc BAC
\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BAC}=\frac{30^0}{2}=15^0\)
\(\widehat{BAE}=\widehat{BAD}+\widehat{DAE}=\widehat{BAF}+\widehat{FAE}\)
\(\Rightarrow\widehat{FAE}=35^0\)
\(\Rightarrow\widehat{FEA}=35^0\)
=> Tam giác FAE cân tại F
=> AF = EF (3)
Tử (1) ; (2) và (3)
=> \(\frac{CE}{AB+AC-BC}=\frac{CE}{BF+EF-BC}=\frac{CE}{BE-BC}=\frac{CE}{CE}=1\)
Câu 5 :
\(\Rightarrow\frac{AK}{BK}=\frac{AI}{AE}\)
\(\Rightarrow\frac{AE}{AD}=\frac{AI}{AK}\) (1)
\(\Rightarrow\frac{AK}{BK}=\frac{AI}{IC}\)
\(\Rightarrow\frac{IC}{BK}=\frac{AI}{AK}\) (2)
Từ (1) và (2)
=> \(\frac{AE}{AD}=\frac{IC}{BK}\)(3)
Dễ thấy AD = BK (4)
Từ (3) và (4)
=> AE=IC
=> AI + IE = IE + EC
=> AI = EC
b) Ta có :
Cộng (1) và (2)
\(KI+DE=\frac{AK.BC+AD.BC}{AB}\)
\(\Rightarrow KI+DE=\frac{BC.\left(AK+AD\right)}{AB}\)
Mà AD=AK+KD
Mặt khác AK=BD
=> AK+AD=BC
\(\Rightarrow KI+DE=\frac{BC.AB}{AB}\)
\(\Rightarrow KI+DE=5cm\)