Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \(\left(P\right):x+y+z--3=0\) và đường thẳng d : \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\\y=-1-2t\\z=-t\end{matrix}\right.\)
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d sao cho giao tuyến của (P) và (Q) vuông góc với d
b) Gọi M là giao điểm của d với (P). Tìm tọa độ của điểm N nằm trên (P) sao cho đường thẳng MN vuông góc với d và \(MN=3\sqrt{14}\)
a) Gọi \(\overrightarrow{u}\left(1;-2;-1\right)\) là vectơ chỉ phương của d, giả sử \(\overrightarrow{v}\left(a;b;c\right)\) là 
Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết bài toán bạn hỏi trên OLM.vn:
Đề bàiTrong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left(\right. P \left.\right) : x + y + z - 3 = 0\) và đường thẳng \(d :\)
\(\left{\right. x = 2 + t \\ y = - 1 - 2 t \\ z = - t\)a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d sao cho giao tuyến của (P) và (Q) vuông góc với d.
b) Gọi \(M\) là giao điểm của \(d\) với \(\left(\right. P \left.\right)\). Tìm tọa độ điểm \(N\) nằm trên \(\left(\right. P \left.\right)\) sao cho đường thẳng \(M N\) vuông góc với \(d\) và \(M N = 3 \sqrt{14}\).
Lời giải chi tiếta) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d, sao cho giao tuyến của (P) và (Q) vuông góc với dBước 1: Xác định vector chỉ phương của dTừ phương trình tham số, vector chỉ phương của d là:
\(\left(\overset{\rightarrow}{u}\right)_{d} = \left(\right. 1 , - 2 , - 1 \left.\right)\)Bước 2: Giao tuyến của (P) và (Q) vuông góc với dGiao tuyến của (P) và (Q) là giao của hai mặt phẳng, có vector chỉ phương là tích có hướng của hai vector pháp tuyến.Gọi \(\left(\overset{\rightarrow}{n}\right)_{P} = \left(\right. 1 , 1 , 1 \left.\right)\) là pháp tuyến của (P), \(\left(\overset{\rightarrow}{n}\right)_{Q} = \left(\right. a , b , c \left.\right)\) là pháp tuyến của (Q).Vector chỉ phương giao tuyến:
\(\left(\overset{\rightarrow}{d}\right)_{g i a o} = \left(\overset{\rightarrow}{n}\right)_{P} \times \left(\overset{\rightarrow}{n}\right)_{Q}\)Yêu cầu: \(\left(\overset{\rightarrow}{d}\right)_{g i a o} \bot \left(\overset{\rightarrow}{u}\right)_{d}\)
\(\Rightarrow \left(\right. \left(\overset{\rightarrow}{n}\right)_{P} \times \left(\overset{\rightarrow}{n}\right)_{Q} \left.\right) \cdot \left(\overset{\rightarrow}{u}\right)_{d} = 0\)
(Q) chứa d nên vector chỉ phương của d vuông góc với pháp tuyến của (Q):
\(\left(\overset{\rightarrow}{u}\right)_{d} \cdot \left(\overset{\rightarrow}{n}\right)_{Q} = 0\)Tức là:
\(1 \cdot a + \left(\right. - 2 \left.\right) \cdot b + \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot c = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a - 2 b - c = 0\)Bước 4: Lập hệ phương trìnhTa có:
\(a - 2 b - c = 0\) (từ trên)\(\left(\right. \left(\overset{\rightarrow}{n}\right)_{P} \times \left(\overset{\rightarrow}{n}\right)_{Q} \left.\right) \cdot \left(\overset{\rightarrow}{u}\right)_{d} = 0\)Tính \(\left(\overset{\rightarrow}{n}\right)_{P} \times \left(\overset{\rightarrow}{n}\right)_{Q}\):
\(\left(\overset{\rightarrow}{n}\right)_{P} \times \left(\overset{\rightarrow}{n}\right)_{Q} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \mid = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \mid\) \(= \mathbf{i} \left(\right. 1 \cdot c - 1 \cdot b \left.\right) - \mathbf{j} \left(\right. 1 \cdot c - 1 \cdot a \left.\right) + \mathbf{k} \left(\right. 1 \cdot b - 1 \cdot a \left.\right)\) \(= \left(\right. c - b , \textrm{ } a - c , \textrm{ } b - a \left.\right)\)Dot với \(\left(\overset{\rightarrow}{u}\right)_{d} = \left(\right. 1 , - 2 , - 1 \left.\right)\):
\(\left(\right. c - b \left.\right) \cdot 1 + \left(\right. a - c \left.\right) \cdot \left(\right. - 2 \left.\right) + \left(\right. b - a \left.\right) \cdot \left(\right. - 1 \left.\right) = 0\) \(c - b - 2 a + 2 c - b + a = 0\) \(c - b - 2 a + 2 c - b + a = \left(\right. c + 2 c \left.\right) + \left(\right. - b - b \left.\right) + \left(\right. - 2 a + a \left.\right) = 3 c - 2 b - a = 0\)Vậy hệ:
\(\left{\right. a - 2 b - c = 0 \\ 3 c - 2 b - a = 0\)Giải hệ:
Từ (1): \(a = 2 b + c\)
Thế vào (2): \(3 c - 2 b - \left(\right. 2 b + c \left.\right) = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 c - 2 b - 2 b - c = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 2 c - 4 b = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } c = 2 b\)
Thế lại vào (1): \(a = 2 b + 2 b = 4 b\)
Vậy chọn \(b = 1\) thì \(c = 2\), \(a = 4\).
Bước 5: Viết phương trình mặt phẳng (Q)(Q) có dạng: \(4 x + y + 2 z + D = 0\)
(Q) chứa d nên thế điểm trên d vào để tìm D.
Lấy điểm \(t = 0\) trên d: \(A \left(\right. 2 , - 1 , 0 \left.\right)\):
Vậy phương trình (Q):
\(\boxed{4 x + y + 2 z - 7 = 0}\)b) Tìm tọa độ điểm N trên (P) sao cho MN vuông góc với d và MN = \(3 \sqrt{14}\)Bước 1: Tìm giao điểm M của d và (P)Phương trình (P): \(x + y + z - 3 = 0\)
Thế tham số đường thẳng d vào:
\(x = 2 + t y = - 1 - 2 t z = - t\) \(\left(\right. 2 + t \left.\right) + \left(\right. - 1 - 2 t \left.\right) + \left(\right. - t \left.\right) - 3 = 0 2 + t - 1 - 2 t - t - 3 = 0 \left(\right. 2 - 1 - 3 \left.\right) + \left(\right. t - 2 t - t \left.\right) = 0 \left(\right. - 2 \left.\right) + \left(\right. - 2 t \left.\right) = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } - 2 t = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t = - 1\)Thế \(t = - 1\) vào d:
\(x = 2 + \left(\right. - 1 \left.\right) = 1 y = - 1 - 2 \cdot \left(\right. - 1 \left.\right) = - 1 + 2 = 1 z = - \left(\right. - 1 \left.\right) = 1\)Vậy \(M \left(\right. 1 , 1 , 1 \left.\right)\).
Bước 2: Gọi \(N \left(\right. x , y , z \left.\right)\) thuộc (P), MN vuông góc với d, MN = \(3 \sqrt{14}\)\(\overset{\rightarrow}{M N} = \left(\right. x - 1 , y - 1 , z - 1 \left.\right)\)MN vuông góc với d: \(\overset{\rightarrow}{M N} \cdot \left(\overset{\rightarrow}{u}\right)_{d} = 0\)\(\left(\right. x - 1 \left.\right) \cdot 1 + \left(\right. y - 1 \left.\right) \cdot \left(\right. - 2 \left.\right) + \left(\right. z - 1 \left.\right) \cdot \left(\right. - 1 \left.\right) = 0\) \(\left(\right. x - 1 \left.\right) - 2 \left(\right. y - 1 \left.\right) - \left(\right. z - 1 \left.\right) = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x - 1 - 2 y + 2 - z + 1 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x - 2 y - z + 2 = 0\)N thuộc (P): \(x + y + z - 3 = 0\)MN = \(3 \sqrt{14}\):\(\left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. z - 1 \left.\right)^{2} = \left(\right. 3 \sqrt{14} \left.\right)^{2} = 9 \cdot 14 = 126\)Bước 3: Giải hệ phương trìnhGọi \(x - 2 y - z + 2 = 0\) (1), \(x + y + z - 3 = 0\) (2), \(\left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. z - 1 \left.\right)^{2} = 126\) (3).
Từ (1): \(x - 2 y - z + 2 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = 2 y + z - 2\)
Thế vào (2):
\(\left(\right. 2 y + z - 2 \left.\right) + y + z - 3 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 2 y + y + z + z - 2 - 3 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 y + 2 z - 5 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 y + 2 z = 5\)\(\textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } y = \frac{5 - 2 z}{3}\)
Thế \(y\) vào \(x\):
\(x = 2 y + z - 2 = 2 \cdot \frac{5 - 2 z}{3} + z - 2 = \frac{10 - 4 z}{3} + z - 2 = \frac{10 - 4 z + 3 z - 6}{3} = \frac{4 - z}{3}\)Vậy:
\(x = \frac{4 - z}{3} , y = \frac{5 - 2 z}{3} , z = z\)Thế vào (3):
\(\left(\left(\right. \frac{4 - z}{3} - 1 \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. \frac{5 - 2 z}{3} - 1 \left.\right)\right)^{2} + \left(\right. z - 1 \left.\right)^{2} = 126\) \(\left(\left(\right. \frac{4 - z - 3}{3} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. \frac{5 - 2 z - 3}{3} \left.\right)\right)^{2} + \left(\right. z - 1 \left.\right)^{2} = 126\) \(\left(\left(\right. \frac{1 - z}{3} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. \frac{2 - 2 z}{3} \left.\right)\right)^{2} + \left(\right. z - 1 \left.\right)^{2} = 126\) \(\frac{\left(\right. 1 - z \left.\right)^{2}}{9} + \frac{\left(\right. 2 - 2 z \left.\right)^{2}}{9} + \left(\right. z - 1 \left.\right)^{2} = 126\) \(\frac{\left(\right. 1 - z \left.\right)^{2} + \left(\right. 2 - 2 z \left.\right)^{2}}{9} + \left(\right. z - 1 \left.\right)^{2} = 126\) \(\left(\right. 1 - z \left.\right)^{2} = 1 - 2 z + z^{2} \left(\right. 2 - 2 z \left.\right)^{2} = 4 - 8 z + 4 z^{2}\) \(\frac{1 - 2 z + z^{2} + 4 - 8 z + 4 z^{2}}{9} + \left(\right. z - 1 \left.\right)^{2} = 126 \frac{5 - 10 z + 5 z^{2}}{9} + \left(\right. z - 1 \left.\right)^{2} = 126\) \(\frac{5 - 10 z + 5 z^{2}}{9} + \left(\right. z^{2} - 2 z + 1 \left.\right) = 126\) \(\frac{5 - 10 z + 5 z^{2} + 9 z^{2} - 18 z + 9}{9} = 126\) \(\frac{5 - 10 z + 5 z^{2} + 9 z^{2} - 18 z + 9}{9} = 126\) \(\frac{5 + 9 + \left(\right. 5 z^{2} + 9 z^{2} \left.\right) - \left(\right. 10 z + 18 z \left.\right)}{9} = 126\) \(\frac{14 + 14 z^{2} - 28 z}{9} = 126\) \(14 + 14 z^{2} - 28 z = 1134\) \(14 z^{2} - 28 z + 14 - 1134 = 0\) \(14 z^{2} - 28 z - 1120 = 0\) \(z^{2} - 2 z - 80 = 0\) \(z^{2} - 2 z - 80 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } z = 1 \pm 9\) \(z_{1} = 1 + 9 = 10 ; z_{2} = 1 - 9 = - 8\)Thế vào các biểu thức trên:
Với \(z = 10\):\(x = \frac{4 - 10}{3} = \frac{- 6}{3} = - 2 y = \frac{5 - 2 \cdot 10}{3} = \frac{5 - 20}{3} = \frac{- 15}{3} = - 5 z = 10\)Vậy \(N_{1} \left(\right. - 2 , - 5 , 10 \left.\right)\)
Với \(z = - 8\):\(x = \frac{4 - \left(\right. - 8 \left.\right)}{3} = \frac{12}{3} = 4 y = \frac{5 - 2 \cdot \left(\right. - 8 \left.\right)}{3} = \frac{5 + 16}{3} = \frac{21}{3} = 7 z = - 8\)Vậy \(N_{2} \left(\right. 4 , 7 , - 8 \left.\right)\)
Kết luậna)Phương trình mặt phẳng (Q):
\(\boxed{4 x + y + 2 z - 7 = 0}\)b)Tọa độ điểm \(N\) thỏa mãn yêu cầu:
\(\boxed{N \left(\right. - 2 , - 5 , 10 \left.\right) \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; N \left(\right. 4 , 7 , - 8 \left.\right)}\)Nếu bạn cần giải thích thêm về các bước giải, hãy hỏi nhé!