Các phương trình ở câu a và b đều là phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).
a) Với phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4z - 32 = 0\), ta có \(a = 0\), \(b = 0\), \(c = - 2\) và \(d = - 32\).
Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {0^2} + {0^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + 32 = 36 > 0\).
Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4z - 32 = 0\) là phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {0;0; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 6\).
b) Với phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0\), ta có \(a = - 1\), \(b = - 1\), \(c = 1\) và \(d = 4\).
Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {1^2} - 4 = - 1 < 0.\)
Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0\) không là phương trình mặt cầu.