Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất.Chiều cao hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.
a) Hãy biểu thị y theo x.
b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \(S\left(x\right)=500+4x+\dfrac{1000}{x}\).
c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; + ∞).
d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
a) \(y = \frac{{500}}{{2x}} = \frac{{250}}{x}\)
b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \(S(x) = 2.2(x + y) + 2xy = 4(x + \frac{{250}}{x}) + 2.x.\frac{{250}}{x} = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\)
c) Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)
Chiều biến thiên:\(S'(x) = 4 - \frac{{1000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\sqrt {10} \\x = - 5\sqrt {10} (loai)\end{array} \right.\)
Giới hạn và tiệm cận:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = - \infty \)
Bảng biến thiên:
d) Để S(x) nhỏ nhất thì x = \(15,8\)(cm) và \(y = \frac{{250}}{x} = \frac{{250}}{{5\sqrt {10} }} \approx 15,8\)(cm)