a) \(y = 3 + \frac{1}{x}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)
- Chiều biến thiên:
\(y' = - \frac{1}{{{x^2}}} < 0\forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên D
- Tiệm cận:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (3 + \frac{1}{x}) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (3 + \frac{1}{x}) = 3\) nên y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (3 + \frac{1}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (3 + \frac{1}{x}) = - \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
- Bảng biến thiên:
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow 3 + \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (\( - \frac{1}{3}\); 0)
b) \(y = \frac{{x - 3}}{{1 - x}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)
Chiều biến thiên:\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(1 - x)}^2}}} < 0\forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên D
Tiệm cận:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = - 1\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = - 1\) nên y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = - \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bảng biến thiên:
Khi x = 0 thì y = -3 nên (0; -3) là giao của đồ thị hàm số với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow x = 3\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (3; 0)
