Question

Cho hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh a (cm) và chiều cao 10 cm.

a) Tính diện tích đáy S của hình chóp theo a.

b) Từ kết quả ở câu a, tính thể tích V của hình chóp theo a và tính giá trị của V khi a = 4 cm.

c) Nếu độ dài cạnh đáy giảm đi hai lần thì thể tích hình chóp thay đổi thế nào?

Answer 1

a) Ta có đáy hình chóp là tam giác đều cạnh a nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến.

Suy ra đường cao là một cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền là a và cạnh góc vuông còn lại là \(\frac{a}{2}\).

Áp dụng định lí Pythagore, ta có đường cao của đáy là:

\(\sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} =\frac{a\sqrt 3}{2}\)

Diện tích đáy S của hình chóp là:

\(S = \frac{1}{2}.\frac{a\sqrt 3}{2}.a = \frac{a^2\sqrt 3}{4}\)

b) Khi a = 4 cm, ta có: \(S = \frac{4^2\sqrt 3}{4} = 4\sqrt 3\)

Thể tích V của hình chóp là:

\(V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.4\sqrt 3 . 10 = \frac{40\sqrt 3}{3} \)

c) Độ dài cạnh đáy mới là \(\frac{a}{2}\)

Chiều cao đáy mới là: 

h_mới \( = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}} \)

\(= \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{{16}}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\left( {cm} \right)\).

Diện tích đáy mới là:

S_mới \( = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{1}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{1}{4}\).S_cũ.

Suy ra V_mới \( = \frac{1}{3}\).S_mới.h\( = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}\).S_cũ.h\( = \frac{1}{4}\).V_cũ

Vậy nếu độ dài cạnh đáy giảm đi hai lần thì thể tích hình chóp giảm đi 4 lần.